Ana encontró un cartón rectangular en su casa y decide reutilizarlo, elaborando con él una caja sin tapa que le servirá para guardar los cables y accesorios de su celular. El cartón mide 80 por 60 centímetros y de la caja, la realizará recortando cuatro cuadrados iguales en cada una de las esquinas.
Recuerda que para expresar la Superficie de la caja, debemos identificar primero que al recortar los cuadros de las esquinas se forman cinco rectángulos, y que la Superficie de un rectángulo se obtiene al multiplicar la base por la altura, es decir S = bh.
Si tienes cinco rectángulos, debes obtener la expresión para cada uno, para la Superficie 1 (S1) la base es x y la altura es 35 – 2x, entonces la expresión de la Superficie 1 sería:
S1 = x (35 – 2x)
1. Si esa es la expresión algebraica para S1, ahora anota las otras cuatro superficies:
S2 =
S3 =
S4 =
S5 =
2. Escribe la expresión de la Superficie sumando las cinco expresiones obtenidas anteriormente
S =
Para calcular el Volumen de la caja, recordemos que el Volumen se obtiene al multiplicar la Superficie de la base por la altura, en este caso, la Superficie de la base es S5 y la altura x.
3. Escribe la expresión algebraica que representa el Volumen de la caja.
V = (S5) (x)
V =
4. ¿Cuál es el Volumen de la caja si su altura es de 6 cm?
Resultado ________________
5. ¿Cuál es la Superficie de la caja si la altura es de 3 cm?
Resultado ________________
6. Si se requiere que la Superficie de la caja sea de 1000 cm2, ¿cuánto debe medir la altura de la caja?
Resultado ________________
7. Si la altura de la caja es de cero cm, calcula la Superficie total y el Volumen de la caja.
Resultado ________________
8. Considera las superficies S1, S2, S3, S4 y S5 e imagina que le pondrás una funda en la base y otro en las paredes laterales, la funda para la base cuesta $2.1 cada cm2 y la funda para las paredes laterales cuesta $1.15 cada cm2, si la altura de la caja es de 2 cm, calcula cuánto dinero se gastará en enfundar todo el interior de la caja.
Resultado ________________
9. Recuerda que 1L = 1000 cm3, calcula cuántos litros le caben a la caja si su altura es de 3 cm.
Resultado ________________
10. Recuerda que 1L = 1000 cm3, calcula cuántos litros le caben a la caja si su altura es de 8 cm.
Resultado ________________
Respuestas
La forma de las superficies de la caja y el cartón se aprecian en la imagen.
Datos:
lc = 80 cm
ac = 60 cm
1 sería: S1 = x (35 – 2x)1. Si esa es la expresión algebraica para S1, ahora anota las otras cuatro superficies: S2 =S3 =S4 =S5 =
De la imagen se tiene que:
S1 = S2 = X(60 - 2X) = - 2X2 + 60X
S3 = S4 = X(80 - 2X) = - 2X2 + 80X
S5 = (60 - 2X) (80 - 2X) = 4X2 - 280X + 4800
La Superficie total de la caja (STb) es la sumatoria de las superficies.
STb = S1 + S2 + S3 + S4 + S5
Como S1 = S2y S3 = S4, entonces:
STb = 2S1 + 2S3 + S5
STb = 2(- 2X2 + 60X) + 2(- 2X2 + 80X) + 4X2 - 280X + 4800
STb = -4X2 + 120X - 4X2 + 160X + 4X2 - 280X + 4800 = - 4X2 + 4800
STb = -4X2 + 4800
2. Escribe la expresión de la Superficie sumando las cinco expresiones obtenidas anteriormente S = Para calcular el Volumen de la caja, recordemos que el Volumen se obtiene al multiplicar la Superficie de la base por la altura, en este caso, la Superficie de la base es S5 y la altura x.
El área total del cartón o Superficie (Ac) se obtiene de multiplicar la base o largo del cartón (lc) por el ancho del mismo (ac)
Ac = lc x ac = 80 cm x 60 cm = 4.800 cm²
Ac = 4.800 cm²
3. Escribe la expresión algebraica que representa el Volumen de la caja. V = (S5) (x)V =
El Volumen de la caja (Vb) se calcula a partir de la base (S5) de esta por la altura (X)
Vb = (S5)(X)
Vb = (4X2 - 280X + 4800)(x) = 4X3 - 280X2 + 4800X
Vb = 4X3 - 280X2 + 4800X
4. ¿Cuál es el Volumen de la caja si su altura es de 6 cm?
Para una altura (x) de 6 cm el volumen de la caja es:
Vb = 4(6)3 – 280(6)2 + 4800(6) = 4(216) – 280(36) + 28.800 = 864 – 10.080 + 28.800 = 19.584 cm3
Vb = 19.584 cm³
5. ¿Cuál es la Superficie de la caja si la altura es de 3 cm?
Si la caja tiene una altura (x) de 3 cm su área o superficie (STb) es:
STb = - 4X2 + 4800 = - 4(3 cm)² + 4.800 = - 4(9 cm²) + 4.800 = - 36 cm² + 4.800 = 4.536 cm²
STb = 4.536 cm²
6. Si se requiere que la Superficie de la caja sea de 1000 cm², ¿cuánto debe medir la altura de la caja?
Para St = 1000 cm², se calcula a partir de STb = - 4X² + 4.800
1.000 cm2 = - 4X² + 4.800
4 X² = 4.800 - 1.000 cm² = 3.800 cm²
X = √3.800 cm² = 61,64 cm
X = 61,64 cm
7. Si la altura de la caja es de cero cm, calcula la Superficie total y el Volumen de la caja.
De entrada, el volumen es cero, ya que no posee altura.
La Superficie o Área es:
STb = - 4X² + 4800
STb = 4800 cm²
8. Considera las superficies S1, S2, S3, S4 y S5 e imagina que le pondrás una funda en la base y otro en las paredes laterales, la funda para la base cuesta $2.1 cada cm2 y la funda para las paredes laterales cuesta $1.15 cada cm2, si la altura de la caja es de 2 cm, calcula cuánto dinero se gastará en enfundar todo el interior de la caja.
La superficie de la base es S5
S5 = 4X² - 280X + 4800
S5 = 4(2)² – 280(2) + 4.800 = 16 - 560 + 4.800 = 4.256 cm²
S5 = 4.256 cm²
Si el precio del centímetro cuadrado para la base es de $ 2,1; entonces:
S5 = 4.256 cm² x $ 2,1 = $ 8.937,6
Precio de funda de la base es $ 8.937,6
Ahora las paredes laterales la tela de la funda tiene un precio de $ 1,15; por lo tanto:
S1 = - 2X2 + 60X = - 2(2)2 + 60(2) = -2(4) + 120 = -8 + 120 = 112
S1 = 112 cm²
Funda paredes = 112 cm² x $ 1,15 = $ 128,8
Funda pared = $ 128,8
Total, de precio de funda para toda la caja.
3S5 + 2S1
3($ 8.937,6) + 2($ 128,8) = $ 26.812,8 + $ 257,6 = $ 27.070,4
Fundas para toda la caja = $ 27.070,4
9. Recuerda que 1L = 1.000 cm³, calcula cuántos litros le caben a la caja si su altura es de 3 cm.
Para una altura (x) de 3 cm el volumen de la caja es:
Vb = 4(3)³ – 280(3)² + 4800(3) = 4(27) – 280(9) + 28.800 = 864 – 720 + 28.800 = 28.944 cm³
Vb = 28.944 cm³ = 28,944 litros
El volumen para una altura de 3 cm es 28,994 litros
10. Recuerda que 1L = 1000 cm³, calcula cuántos litros le caben a la caja si su altura es de 8 cm.
Para una altura (x) de 8 cm el volumen de la caja es:
Vb = 4(8)³ – 280(8)² + 4800(8) = 4(512) – 280(64) + 38.400 = 2.048 – 17.920 + 38.400 = 22.528 cm³
Vb = 22.528 cm³ = 28,528 litros
El volumen para una altura de 8 cm es 28,528 litros
