Se quiere fabricar una caja sin tapa con base cuadrada, de capacidad de 12 pies cúbicos;
a. Encuentre una función que modele el área superficial de la caja.
b. Encuentre las dimensiones de la caja que reduzcan al mínimo la cantidad de material utilizado.
Respuestas
Datos:
V = 12 ft³
Caja cuadrada sin tapa.
A) El área de la caja es:
A = Área de base + 4(h x l)
Como es cuadrada, entonces la base se eleva al cuadrado la magnitud del lado (l).
Área de Base = l²
Quedando la expresión para las dimensiones de la caja:
A = l²+ 4(h x l)
B) Para hallar las dimensiones se parte de la fórmula del volumen (V).
V = l² x h
Despejando la altura (h).
h = V/l²
Pero V = 12 ft³
h = 12 ft³/ l²
Ahora se sustituye en la fórmula del área.
A = l² + 4(12/l² x l)
A = l² + (48/l)
Para que sea con el mínimo material posible se debe aplicar la derivada de la formula e igualarla a cero (0).
A’ = l²’ + (48/l)’
Derivando e igualando a cero.
0 = 2l³ + 48(-1/l²)
0 = (2l³ - 48)/l²
Quedando:
0 = 2l³ - 48
Despejando l:
l³ = 48/2
l³ = 24
l = = 2,884499 ft
l = 2,884499 ft
Ahora se calcula la altura (h).
h = 12 ft³/ l²
h = 12 ft³/(2,884499 ft)² = 12 ft³/8,320334 ft² = 1,44225 ft
h = 1,44225 ft