Respuestas
Para hacer el estudio de una función, y = f(x), el primer aspecto en el que nos concentraremos será en la búsqueda de su dominio o campo de existencia, es decir, todos los valores x para los cuales existe f(x). En la práctica es más simple hallar los valores x para los cuales no existe f(x), el dominio será todo R excepto esos valores.
Por ejemplo, según la forma de la función podemos decir:
* Para funciones en forma racional:
no existe la función cuando se anula el denominador h(x), por tanto, haciendo h(x) = 0 hallamos las raíces de h(x). Pues bien, el dominio será todo R excepto esas raíces de h(x).
* Para funciones en forma de radical:
si n es un número par, entonces g(x) sólo existe en la zona positiva de x. En caso de que n sea impar suele admitirse la posibilidad de que g(x) pueda ser negativa (por ejemplo, la raíz cúbica de -8, se supone x = -2).
* Para funciones en forma:
y = arc sen g(x) ó y = arc cos g(x)
la función g(x) debe estar comprendida entre -1 y +1.
8.2 Simetrías.
Sea y = f(x), dos tipos de funciones son destacables según su simetría:
I) Si f(-x) = f(x) la función es simétrica (simetría respecto al eje OX).
II) Si f(-x) = - f(x) la función es antisimétrica (simetría respecto al eje OX).
En una función simétrica la gráfica de los cuadrantes I y IV se reflejan especularmente en los cuadrantes II y III, haciendo el eje OY las veces de espejo.
En una función antisimétrica la gráfica del cuadrante I y IV se refleja como por un espejo en el cuadrante II y III (haciendo de "espejo" el eje Y), y a continuación esa imágen especular se refleja horizontalmente como por las aguas de un lago (haciendo de "lago" el eje X).
Ejemplo de funciones simétricas: y = x² . Ejemplo de función antisimétrica: y = x³.
8.3 Corte con los ejes.
Para conocer los puntos de corte de la gráfica con los ejes, consideraremos:
1) Haciendo x = 0 en y = f(x), nos dará directamente, y = f(0), el punto de corte con el eje Y.
2) Haciendo y = 0 en y = f(x), y resolviendo la ecuación f(x) =0 , obtendremos el punto o puntos de corte con el eje X; puede haber uno, varios o incluso ninguno (en caso de que f(x) =0 carezca de solución).
8.4 Asíntotas.
Son líneas rectas que las curvas y ramas parabólicas de ciertas gráficas de funciones se aproximan a ellas paulativamente, a medida que se alejan del origen, sin llegar núnca a cortarlas. Las hay de tres típos:
1) Asíntotas horizontales (o paralelas al eje X): Son rectas de la forma y = h, siendo:
Es conveniente hallar por separado los límites cuando x tiende a +, y cuando x tiende a -, que pueden ser iguales o diferentes, en este último caso hay dos asíntotas horizontales. Si h nos da o un valor inexistente significa que no hay asíntota horizontal, por otra parte, en caso de existir alguna asíntota horizontal podemos asegurar de que no habrá asíntota oblicua (ver caso 3).
También es interesante estudiar la posición de la curva respecto a esta asíntota horizontal y = h, para ello se estudia si f(x) > h ó f(x) < h cuando x tiende a +, y cuando x tiende a -, un esquema de ello lo presentamos en la figura adjunta:
2) Asíntotas verticales (o paralelas al eje Y): Son rectas de la forma x = k (puede haber varias), siendo k aquellos valores finitos de "x" que hacen a "y" infinito. Por ejemplo, en las funciones racionales de la forma:
los valores k son las raíces de h(x), o como hemos dicho en 8.1, aquellos valores que no pertenecen al campo de existencia de la función por anular el denominador.
3) Asíntotas oblicuas: Se estudian únicamente cuando no hay asíntotas horizontales. Son rectas que tiene la :