Demostrar que : 4y^2-9x^2-16y-18x-29=0 representa una hipérbola y determine: Centro
Focos
Vértices
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13
Una hipérbola sigue la forma:
![\frac{ (x-h)^{2} }{a^{2}} - \frac{ (y-k)^{2} }{b^{2}}=1 \frac{ (x-h)^{2} }{a^{2}} - \frac{ (y-k)^{2} }{b^{2}}=1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+%28x-h%29%5E%7B2%7D+%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D+-+%5Cfrac%7B+%28y-k%29%5E%7B2%7D+%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1)
Para una hipérbola que abre hacia los lados, si b > a
![\frac{ (y-k)^{2} }{b^{2}} - \frac{ (x-h)^{2} }{a^{2}}=1 \frac{ (y-k)^{2} }{b^{2}} - \frac{ (x-h)^{2} }{a^{2}}=1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+%28y-k%29%5E%7B2%7D+%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D+-+%5Cfrac%7B+%28x-h%29%5E%7B2%7D+%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%3D1)
Para una hipérbola que abre hacia arriba, si a > b
Tenemos la ecuación:
4y² - 9x² - 16y - 18x - 29 = 0, agruparemos para realizar una completación de cuadrados
- 9x² - 18x + 4y² - 16y - 29 = 0
Para completar cuadrados se requiere que el término cuadrático sea lineal, es decir igual a
-9(x² + 2x) + 4(y² - 4y) - 29 = 0
-9(x² + 2x + 1 - 1) + 4(y² - 4y + 4 - 4) - 29 = 0
-9(x + 1)² + 9 + 4(y - 2)² - 16 - 29 = 0
-9(x + 1)² + 4(y - 2)² - 36 = 0
-9(x + 1)² + 4(y - 2)² = 36
-9(x + 1)²/36 + 4(y - 2)²/36 = 36
Dividimos entre 36
![-\frac{ (x+1)^{2} }{4} - \frac{ (y-2)^{2} }{9}=1 -\frac{ (x+1)^{2} }{4} - \frac{ (y-2)^{2} }{9}=1](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B+%28x%2B1%29%5E%7B2%7D+%7D%7B4%7D+-+%5Cfrac%7B+%28y-2%29%5E%7B2%7D+%7D%7B9%7D%3D1)
![-\frac{ (x+1)^{2} }{2^{2}} - \frac{ (y-2)^{2} }{3^{2}}=1 -\frac{ (x+1)^{2} }{2^{2}} - \frac{ (y-2)^{2} }{3^{2}}=1](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B+%28x%2B1%29%5E%7B2%7D+%7D%7B2%5E%7B2%7D%7D+-+%5Cfrac%7B+%28y-2%29%5E%7B2%7D+%7D%7B3%5E%7B2%7D%7D%3D1)
Con: a = 2 y b = 3
CENTRO: (-1,2) → (h, k)
FOCOS: F₁(-1, 2 - √13) y F₂(-1, 2 + √13)
Se cumple que c² = a² + b²
c = √4 + 9 = √13
El foco 1 es: (h, k - c) → (-1 , 2 - √13)
El foco 2 es: (h, k + c) → (-1 , 2 + √13)
VÉRTICES: V₁(-1,-1) y V₂(-1,5)
Para los vértices se cumple que:
Vértice 1: (h, k + b) → (-1, 2 + 3) = (-1, 5)
Vértice 2: (h, k - b) → (-1, 2 - 3) = (-1, -1)
Para una hipérbola que abre hacia los lados, si b > a
Para una hipérbola que abre hacia arriba, si a > b
Tenemos la ecuación:
4y² - 9x² - 16y - 18x - 29 = 0, agruparemos para realizar una completación de cuadrados
- 9x² - 18x + 4y² - 16y - 29 = 0
Para completar cuadrados se requiere que el término cuadrático sea lineal, es decir igual a
-9(x² + 2x) + 4(y² - 4y) - 29 = 0
-9(x² + 2x + 1 - 1) + 4(y² - 4y + 4 - 4) - 29 = 0
-9(x + 1)² + 9 + 4(y - 2)² - 16 - 29 = 0
-9(x + 1)² + 4(y - 2)² - 36 = 0
-9(x + 1)² + 4(y - 2)² = 36
-9(x + 1)²/36 + 4(y - 2)²/36 = 36
Dividimos entre 36
Con: a = 2 y b = 3
CENTRO: (-1,2) → (h, k)
FOCOS: F₁(-1, 2 - √13) y F₂(-1, 2 + √13)
Se cumple que c² = a² + b²
c = √4 + 9 = √13
El foco 1 es: (h, k - c) → (-1 , 2 - √13)
El foco 2 es: (h, k + c) → (-1 , 2 + √13)
VÉRTICES: V₁(-1,-1) y V₂(-1,5)
Para los vértices se cumple que:
Vértice 1: (h, k + b) → (-1, 2 + 3) = (-1, 5)
Vértice 2: (h, k - b) → (-1, 2 - 3) = (-1, -1)
Adjuntos:
![](https://es-static.z-dn.net/files/d2a/c2721bf97d159a33f6d6a86025cc4f36.png)
mechanical:
no entendi nada del proceso
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