Question

Hallar "x" en: sec(5x+20º)=csc(x+40º)

Answer 1

Solo se igualan los que están en paréntesis :

5x+20 =x+40
4x=20
x=5

Answer 2

Antes de abordar el problema recordemos la relación que tienen las funciones SENO y COSENO

$\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin x\cos \dfrac{\pi}{2}+\cos x\sin \dfrac{\pi}{2}\\ \\ \\ \sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x\\ \\ \\ \texttt{M\'as all\'a: }\\ \\ \sin \left[x+\dfrac{\pi}{2}(2k+1)\right]=\sin x\cos \left[\dfrac{\pi}{2}(2k+1)\right]+\cos x\sin \left[\dfrac{\pi}{2}(2k+1)\right]\\ \\ \\ \sin \left[x+\dfrac{\pi}{2}(2k+1)\right]=\cos x\sin \left[\dfrac{\pi}{2}(2k+1)\right]$

$\sin \left[x+\dfrac{\pi}{2}(2k+1)\right]=\cos x\sin \left(\pi k+\dfrac{\pi}{2}\right)\\ \\ \\ \sin \left[x+\dfrac{\pi}{2}(2k+1)\right]=\cos x\cos (\pi k)\\ \\ \\ \sin \left[x+\dfrac{\pi}{2}(2k+1)\right]=(-1)^k\cos x\\ \\ \\ \text{Por ende podemos garantizar: }\\ \\ \sin \left[x+\dfrac{\pi}{2}(4k+1)\right]=\cos x\,,\forall k\in \mathbb{Z} \,\\ \\ ===========================$


$\texttt{Luego: }\\ \\ \csc\left[x+\dfrac{\pi}{2}(4k+1)\right]=\sec x\\ \\ \texttt{con la condici\'on: }\\ \\ x+\dfrac{\pi}{2}(4k+1)\neq n\pi \wedge x\neq \dfrac{\pi}{2}(2m+1)\\ \\ x\neq n\pi -\dfrac{\pi}{2}(4k+1)\wedge x\neq \dfrac{\pi}{2}(2m+1)\\ \\ x\neq \dfrac{\pi}{2}(2n-4k-1)\wedge x\neq \dfrac{\pi}{2}(2m+1)\\ \\ \\ \boxed{x\neq \dfrac{\pi}{2}(2m+1)}$


Ahora resolvamos la ecuación

$(x+40\°)-(5x+20\°)=90\°(4k+1)~,~ k\in \mathbb{Z}\\ \\ -4x+20\°=360\°k+90\°\\ \\ -4x=360\°k+70\°\\ \\ x=-90\°k-17.5\°\\ \\ x=90\°n-17.5\°~,~n\in \mathbb{Z}\\ \\ \texttt{Por ejemplo en el primer cuadrante tenemos a }x = 90\°-17.5\°\\ \\ x=72.5\°=72\°30'$