Question

El modulo de A es 15 m y su Unitario es = 0.70i-0.53j+ck, con (angulo gama a menor a 90). Si B comienza en el punto P (2,0,5)m y termina en el punto R(0,-3,-5), determine:
A) en angulo entre los vectores A y B
B) el vector P proyeccion de B sobre A

Answer 1

Lo primero que debemos hacer es encontrar las componentes del vector B, esto lo  hacemos restando el vector R - P = (-2,-3,-10), ahora se puede calcular el angulo con el vector unitario de A (pues este tiene la misma dirección de A) o también se puede calcular A y luego calcular el angulo, lo haremos de la primera manera.

Sea Θ = el angulo  entre A y B, entonces:

cos(Θ)= $\frac{A*B}{|A|*|B|}$

donde |A| y |B| son el modulo de A y modulo de B respectivamente. Como mencionamos no usaremos  A si no su  vector unitario  (por facilidad ya que el modulo es 1)

|B|= $\sqrt{ (-2)^{2} + (-3)^{2} + (-10)^{2} }$= 10.6301

El vector unitario de A se puede escribir como: (0.70, -0.53, c)

Como es unitario 1= $\sqrt{ (0.70)^{2} + (-0.53)^{2} + (c)^{2} }$

Elevando al cuadrado ambos lados:

1= 0.49+ 0.2809 + (c)^{2}⇒ (c)^{2}= 1-0.7709=0.2291
C= $\sqrt{0.2291} o C= -\sqrt{0.2291}$

Tomaremos C negativo para que se cumpla  la condicion del angulo menor a 90


cos(Θ)= $\frac{(-2,-3,-10)(0.70,-0.53,-0.4786)}{1*10.6301}$

$= \frac{-1.4+1.59+4.786)}{1*10.6301} = \frac{4.976}{10.6301}$ = 0.468104

Por lo tanto Θ= arcocos(0.468104)= 62.08865992 ° 

Proyección entre dos vectores: Sea A y B dos vectores Entonces La proyeccion de B Sobre A= 

$Proy_{A}B = \frac{A*B}{|A|}$

Ademas sea U el vector unitario de A que ya conocemos

A= $\frac{U}{|A|^{2} }$

A= U*|A|= 15*(0.70,-0.53,-0.4786)=(10.5,-7.95,-7.179)

Por lo tanto usaremos el vector U y asi no es necesario dividir entre la norma.

$Proy_{A}B =[tex] \frac{(-2,-3,-10)(10.5,-7.95,-7.179)}{15^{2} }$= 


$\frac{-21+23.85+71.79}{225}$= $\frac{74.64}{225}$ = 0.33173333

Por ultimo para calcular el vector proyección P multiplicamos la proyeccion esalar por A 

P = 0.33173333*(10.5,-7.95,-7.179)= (3.4831,-2.6372,-2.3815)