Question

Buenas noches por favor algún experto ecuaciones diferenciales que me pueda ayudar con este problema según la pregunta muchas gracias.

Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.
Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.


Si el punto x_0 es singular regular, la ecuación r(r-1)+p_0 r+q_0=0, donde p_0=lim┬(x→x_0 )⁡(x-x_0 )f(x), q_0=lim┬(x→x_0 )⁡〖(x-x_0 )^2 g(x)〗 se llama ecuación indicial. Los valores r solución de la ecuación indicial se llaman exponentes de la singularidad o raíces indiciales. Los valores r=1, r=1/2 son exponentes de la singularidad obtenidos de la ecuación indicial r(r-1)-1/2 r+1/2=0 PORQUE x=-2 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (x+2) x^2 y^''-xy^'+(1+x)y=0

Answer 1

Respuesta: 

La afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.

Teniendo la ecuación indicial  r(r-1) - 1/2·r + 1/2 = 0, r=1 y r=1/2 si son raíces indiciales ya que al sustituirlos en la ecuación se cumple la igualdad.

Ademas de la ecuación indicial sabemos que p₀ = -1/2 y q₀ = 1/2.

Sin embargo teniendo la ecuación diferencial: 

                                             (x+2)·x²·y'' - x·y' + (1+x)·y = 0

Transformamos la ecuación en su forma estándar dividiendo todo entre el término (x+2)·x². Tenemos: 

                                          $y'' + \frac{-x}{(x+2)x^{2} } y' + \frac{1+x}{(x+2) x^{2} } y = 0$

Donde p₀ viene definido por: 

p₀ = $\lim_{x \to \ xo} (x-xo)p(x)$

Entonces p₀ va a ser: 

                                      p₀ = $\lim_{x \to \ -2} (x+2) \frac{-x}{(x+2) x^{2} } = -1/2$ 

Ahora calculamos qo, el cual viene definido por: 

q₀ = $\lim_{x \to \ xo} (x-xo)^2 q(x)$

Entonce: 

                                  q₀ = $\lim_{x \to \ -2} (x+2)^2 \frac{1+x}{(x+2) x^{2} } = 0$

Se puede notar que los q₀ difiere según la ecuación indicial y la singularidad en x = -2 , por ello es una afirmación verdadera pero la razón es falsa.