Question

Juan va a responder un examen de 5 preguntas de opción múltiple con 3 opciones si la contesta al azar q probabilidad tiene de sacar 10 y que de reprobar

Answer 1

De inicio si tenemos un exámen de opción múltiple con cuatro opciones de respuesta podríamos decir que tenemos 25% de probabilidad deatinarle a la respuesta correcta.

Dado que solo hay dos resultados posibles (correcto, incorrecto) podemos utilizar una distribución binomial para conocer nuestras expectativas de éxito en un examen de opción múltiple.

Si tomamos en cuenta un examen con 100 preguntas para pasar se requieren 60 respuestas correctas y si cada respuesta correcta tiene una probabilidad de 0.25 podemos calcular la probabilidad de obtener sesenta respuestas correctas (P(x=60) = (100!/60!*40!)*.25^60*.75^40) o más. Recordemos que la probabilidad un rango de resultados es la suma de todas las probabilidades de tal forma que la probabilidad de pasar un examen es igual a la suma de probabilidades de todas las respuestas aprobatorias (P(x>=60) = P(x=60)+P(x=70)+P(x=80)+P(x=90)+P(x=100))

prob.pasar <- dbinom(60, 100, 0.25) + dbinom(70, 100, 0.25) + dbinom(80, 100, 0.25) + dbinom(90, 100, 0.25) + dbinom(100, 100, 0.25) prob.pasar[1] 1.040004e-13

La probabilidad de pasar el examen contestando al azar es muy baja, la probablidad de reprobar es igual a 1 - P(x<=60) (prácticamente 1) lo que indica que si contestamos un examen al azar es casi seguro que reprobemos.

La distribución de probabilidad tiene una esperanza matemática (equivalente a la media aritmética) es igual al producto de la probabilidad de responder correctamente (0.25) por el número de ensayos, en este caso el 100 ya que el examen cuenta con ese número de preguntas. De tal forma que la esperanza matemática es que se respondan correctamente 25 preguntas.

La intención de este experimento es probar qué tan fácil es pasar un examen de 45 preguntas de opción múltiple con cuarto opciones de respuesta de las cuales únicamente una es correcta si las respuestas son elegidas al azar.

Necesitamos entonces una matriz con 45 columnas, una por cada pregunta del examen, y una clave de respuestas correctas.

La clave de respuestas se encuentra en el vector denominado clave y las respuestas al exámen las vamos a generar tomando una muestra aleatoria de una base con 40,000 respuestas (a,b,c,d).

Primero creamos la matriz abcd con la funciones c() y rep(), como las respuestas están en orden utilizamos sample() para mezclarlas.

abcd <- c(rep("a", 10000), rep("b", 10000), rep("c", 10000), rep("d", 10000)) head(abcd)[1] "a" "a" "a" "a" "a" "a"tail(abcd)[1] "d" "d" "d" "d" "d" "d"abcd <- sample(abcd) head(abcd)[1] "a" "c" "d" "c" "b" "a"tail(abcd)[1] "c" "d" "d" "b" "c" "c"

Mediante una función recursiva vamos a generar muestras de respuesta para 50 sustentantes. Estas muestras se calificarán creando una matriz de ceros (respuestas incorrectas) y unos (respuestas correctas) y se calculará el total de respuestas correctas para cada uno de los sustentantes con la función rowSums(). La calificación de cada sustentante será el total de respuestas correctas divido entre el número total de preguntas en el examen (45) todo esto multiplicado por 100 lo cual nos dará un rango de calificación de 0 a 100.

resultados <- vector(mode = "list", length = 250) for (i in 1:250) { resp <- matrix(sample(abcd, 2250, replace = T), nrow = 50, ncol = 45) cal <- matrix(0, nrow = nrow(resp), ncol = ncol(resp)) for (j in 1:nrow(cal)) { for (k in 1:ncol(cal)) { if (clave[k] == resp[j, k]) cal[j, k] <- 1 else cal[j, k] <- 0 } } resultados[[i]] <- rowSums(cal)/45 * 100 } muestras <- do.call(rbind, resultados)

Tenemos entonces 250 muestras de respuesta al examen con 50 sustentantes cada una, esto es 12,500 exámenes contestados y calificados. La calificación más alta que se obtuvo fue de 48.89 lo que indica que ninguno de nuestros sustentantes ficticios pasó el examen. El sustentante con la calificación más baja obtuvo 2.22, lo que indica que obtuvo 1 respuesta correcta. La media aritmética para todas las calificaciones fue de 24.89 que equivale a 11.2 respuestas correctas muy cercano a la esperanza matemática para esta prueba (np = 45*.25 = 11.25).

Los resultados anteriores corresponden con el cálculo de probabilidades de pasar o no pasar un examen si se contesta al azar, lo cual hace casi imposible pasar el examen.

En condiciones reales los sustentantes de un examen no contestarían todo el examen al azar (se espearía que al menos tuviesen una idea de lo que vendría en el examen) pero las posibilidades de pasar el examen aumentarán en proporción a los conocimientos que puedan poseer y a la calidad de los reactivos en la prueba (distractores plausibles, por ejemplo) que permitan o no adivinar la respuesta correcta. No obstante, suponiendo que en el ejemplo del examen con 100 preguntas tuviesen un 50% de probabilidades de elegir la respuesta correcta la probabilidad de pasar (P(x>=60)) sería de 0.010867 la cual indica que 1 de cada 100 sustentantes podría pasar el examen.