Usando el siguiente par de vectores, compruebe porque no son base Generadora de R3 U=( 1 0 2 ) V=( 1 0 -1)
Respuestas
Un sistema generador de V, donde V es un espacio vectorial,
es un conjunto de vectores que pertenecen a V, tales que se puedan generar a cualquier vector de V, es decir, todo vector perteneciente a V
puede ser escrito como combinación lineal del sistema generador.
Se llama Base generadora de un espacio vectorial a un sistema generador cuyos vectores son linealmente independientes.
Como principal propiedad de Rn sabemos que un conjunto de vectores es base de Rn si y solo si está compuesto por n vectores linealmente independiente. Ahora, solo disponemos de 2 vectores, por lo cual no podemos obtener una base de R3.
Como contraejemplo usaremos el vector (0 1 0) perteneciente a R3, y se demostrara que no se puede escribir como combinación lineal de UyV.
Supongamos que el vector (0 1 0) se puede escribir como combinación lineal de UyV
(0 1 0)= a(1 0 2)+b(1 0 -1)
⇒ a*0+b*0=1 ⇒ 0=1 Contradicción
Por lo tanto los vectores U,V no pueden generar todos los vectores de R3 lo que implica que no es una base generadora de R3.