Question

si en un poligono se aumenta un lado su numero de diagonales aumenta en seis . calcular su numero de lados

Answer 1

sea X el numero de diagonales entonces según la formula de diagonales tenemos:

X = n x (n - 3 )...................(1)       
               2

y al aumentar un lado aumenta en 6 diagonales entonces tenemos la siguiente relación :   X+6 = (n+1) x( (n+1) - 3 ) .....................(2)
                           2

ahora si restamos 1 de 2 obtenemos:

X+6 - X = (n+1) x ((n+1) - 3)  -  n x (n - 3)
                                  2                2

6= (n+1)x ((n+1) - 3) - n x (n - 3 ) multiplicamos los comunes
                        2                2

6= (n+1)² - 3(n+1)  -  n² - 3n  son fracciones homogéneas
              2                   2

6= n²+ 2n + 1 - 3n -3 - n² +3n reduciendo términos
                    2

6= 2n -2
        2
6x2= 2n -2
12= 2n -2
12+2= 2n
14=2n
14/2=n
7 = n    es el polígono original y si aumentamos 1 tendremos n +1 = 8 y las diagonales serían para n= 14 y para n+1= 20 ;  20-14= 6
 esta un poquito largo pero es para que se entienda bien

Answer 2

El número de diagonales de un pológno se calcula con la fórmula

$d= \frac{n(n-3)}{2}$

Siendo "d" el número de diagonales y "n" edl número de lados.

El ejercicio nos dice que si aumentamos un lado al polígono el número de sus diagonales aumenta en 6.
Las diagonales del polígono original lo calculamos con la fórmula que habíamos puesto arriba.
$d= \frac{n(n-3)}{2}$

para el nuevo polígo sustituimos n por n+1 y d se aumenta en 6

$d+6= \frac{(n+1)(n+1-3)}{2} = \frac{(n+1)(n-2)}{2}= \frac{n^2-2n+n-2}{2} = \frac{n^2-n-2}{2}$

Ahora sustituimos d por el valor que nos da la primera fórmula

$\frac{n^2-3n}{2}-6= \frac{n^2-n-2}{2}$

eliminamos denominadores multiplicandom todo por 2, quedaría

n²-3n+12=n²-n-2

pasamos los n a un lado y los términos independientes a otro

n²-n²-3n+n=-2-12
-2n=-14
n=$\frac{-14}{-2}$
n=7

El polígono original tiene 7 lados