Question

Determine el volumen del sólido de revolución al rotar la región encerrada por la función f (x) = 4 - x entre x = 0 y x = 2, alrededor del eje x. Elabore la respectiva gráfica y considere el volumen en unidades cúbicas.

Answer 1

Respuesta:   

Para resolver este ejercicio aplicaremos el método de los discos. 

La gráfica se puede ver adjunta. 

Entonces el volumen viene definido por: 

                                         $V = \int\limits^a_b { \pi R^{2} } \, dx$

Donde R es el radio de sólido que se genera. Por tanto R viende definido como: 

1- R = f(x) - eje de giro, si el radio de giro esta por debajo de f(x)
2- R = eje de giro - f(x), si el radio de giro esta por encima de f(x)

El radio de giro es el eje x, es decir Y=0. Por tanto aplicamos la condición 1. Tenemos: 

                                          $V = \int\limits^2_0 { \pi [(4-x)-0]^2} \, dx$

                                      $V = \pi \int\limits^2_0 {(4-x) ^{2} } \, dx = \pi \int\limits^2_0 {16-8x + x^{2} } \, dx$

                                                    V = π·[16x - 4x² + x³/3] ²/₀

Evaluamos en limite superior menos limite inferior: 

                     V = π·[16(2) - 4(2)² + (2)³/3]  - π·[16(0) - 4(0)² + (0)³/3]  = 56π/3 u³