Determine la longitud de arco de la gráfica
del origen (0, 0) al punto (1, 4) y elabore la respectiva gráfica.
Respuestas
Respuesta dada por:
5
Respuesta:
Para calcular la longitud de arco, se puede aplicar la integración, aplicando la siguiente formula.
L =![\int\limits^a_b { \sqrt{1+ (f'(x))^{2} } } \, dx \int\limits^a_b { \sqrt{1+ (f'(x))^{2} } } \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits%5Ea_b+%7B+%5Csqrt%7B1%2B+%28f%27%28x%29%29%5E%7B2%7D+%7D+%7D+%5C%2C+dx+)
Sabiendo que f(x) = 4x³/² conseguimos a f'(x) aplicando derivadas.
f'(x) = 4·3/2 · X ³/² ⁻ ¹
f'(x) = 6√x
Como f'(x) esta en función de la variable x, se tomaran como limite de integración las coordenadas de la variable x.
Aplicando la ecuación de la integral, tenemos:
L =
Simplificamos:
L =![\int\limits^1_0 { \sqrt{1+36x} } \, dx \int\limits^1_0 { \sqrt{1+36x} } \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B+%5Csqrt%7B1%2B36x%7D+%7D+%5C%2C+dx+)
Para resolver esta integral aplicaremos un cambio de variable:
1+36x = w²
Diferenciamos ambos lado de la ecuación ( se deriva ambos lados) :
36 dx = 2w dw ∴ dx = 2w/36 dw
Introducimos el cambio en la integral y resolvemos:
![\int { \sqrt{w^2} } \, * 1/18*wdw = 1/18 \int {w^2} \, dw = (1/18)*( w^{3} /3) \int { \sqrt{w^2} } \, * 1/18*wdw = 1/18 \int {w^2} \, dw = (1/18)*( w^{3} /3)](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint+%7B+%5Csqrt%7Bw%5E2%7D+%7D+%5C%2C++%2A+1%2F18%2Awdw+%3D+1%2F18+%5Cint+%7Bw%5E2%7D+%5C%2C+dw+%3D+%281%2F18%29%2A%28+w%5E%7B3%7D+%2F3%29)
Devolvemos el cambio de variable y tenemos:
I =![I = 1/54( \sqrt{1+36x})^3 I = 1/54( \sqrt{1+36x})^3](https://tex.z-dn.net/?f=I+%3D+1%2F54%28+%5Csqrt%7B1%2B36x%7D%29%5E3+)
Evaluamos la integral en limite superior menos limite inferior
I =![I = 1/54( \sqrt{1+36(1)})^3 - 1/54( \sqrt{1+36(0)})^3 = 4.15 u I = 1/54( \sqrt{1+36(1)})^3 - 1/54( \sqrt{1+36(0)})^3 = 4.15 u](https://tex.z-dn.net/?f=I+%3D+1%2F54%28+%5Csqrt%7B1%2B36%281%29%7D%29%5E3++-++1%2F54%28+%5Csqrt%7B1%2B36%280%29%7D%29%5E3+%3D+4.15+u)
La longitud del arco es de 4.15 unidades de longitud.
Para calcular la longitud de arco, se puede aplicar la integración, aplicando la siguiente formula.
L =
Sabiendo que f(x) = 4x³/² conseguimos a f'(x) aplicando derivadas.
f'(x) = 4·3/2 · X ³/² ⁻ ¹
f'(x) = 6√x
Como f'(x) esta en función de la variable x, se tomaran como limite de integración las coordenadas de la variable x.
Aplicando la ecuación de la integral, tenemos:
L =
Simplificamos:
L =
Para resolver esta integral aplicaremos un cambio de variable:
1+36x = w²
Diferenciamos ambos lado de la ecuación ( se deriva ambos lados) :
36 dx = 2w dw ∴ dx = 2w/36 dw
Introducimos el cambio en la integral y resolvemos:
Devolvemos el cambio de variable y tenemos:
I =
Evaluamos la integral en limite superior menos limite inferior
I =
La longitud del arco es de 4.15 unidades de longitud.
MiiL3:
Mil gracias. Dios le bendiga <3
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