Question

Determine la longitud de arco de la gráfica $y=4x^{3/2}$ del origen (0, 0) al punto (1, 4) y elabore la respectiva gráfica.

Answer 1

Respuesta: 

Para calcular la longitud de arco, se puede aplicar la integración, aplicando la siguiente formula. 

                                              L = $\int\limits^a_b { \sqrt{1+ (f'(x))^{2} } } \, dx$

Sabiendo que f(x) = 4x³/²  conseguimos a f'(x) aplicando derivadas. 

                                                       f'(x) = 4·3/2 · X ³/² ⁻ ¹

                                                              f'(x) = 6√x

Como f'(x) esta en función de la variable x, se tomaran como limite de integración las coordenadas de la variable x. 

Aplicando la ecuación de la integral, tenemos: 

                                       L =  $\int\limits^1_0 { \sqrt{1+(6 \sqrt{x} )^2} } \, dx$  

Simplificamos: 

                                            L = $\int\limits^1_0 { \sqrt{1+36x} } \, dx$

Para resolver esta integral aplicaremos un cambio de variable: 

                                                       1+36x = w²  

Diferenciamos ambos lado de la ecuación ( se deriva ambos lados) : 

                                        36 dx = 2w dw  ∴  dx = 2w/36 dw 

Introducimos el cambio en la integral y resolvemos: 

  $\int { \sqrt{w^2} } \, * 1/18*wdw = 1/18 \int {w^2} \, dw = (1/18)*( w^{3} /3)$

Devolvemos el cambio de variable y tenemos: 

                                               I = $I = 1/54( \sqrt{1+36x})^3$

Evaluamos la integral en limite superior menos limite inferior 

                            I = $I = 1/54( \sqrt{1+36(1)})^3 - 1/54( \sqrt{1+36(0)})^3 = 4.15 u$

La longitud del arco es de 4.15 unidades de longitud.