Question

50 ejrcicios de suma y resta de complejos

Answer 1

La suma o adición de números complejos dados en forma binómica
La suma de dos números complejos es otro número complejo con parte real, la suma de las partes reales y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. En fórmulas(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i


Ejemplo Sumar (4+5i) y (4+6i) 
Solución 
(4+5i)+(4+6i)=(4+4)+(5+6)i 
      =8+11i 


Abajo varios ejercicios resueltos que ilustran como solventar algunas dificultades en la adición de números complejos.

Ejercicio Calcular (2+i)+(1+3i)     Solución 
Observe que la parte imaginaria de 2+i es 1.
Así tenemos(2+i)+(5+3i)=(2+5)+(1+3)i
En definitiva,(2+i)+(5+3i)=7+4i


Ejercicio Calcular (1−3i)+(2i)     Solución Observe que la parte imaginaria de 1−3i en −3 

La parte real del segundo sumando, 2 es 0. Así 

(1−3i)+(2i)=(1+0)+(−3+2)i 
Se efectúa las sumas planteadas en la parte real y en la parte imaginaria. 
(1−3i)+(2i)==1+(−1)i1−i


Tenga presente la definición de la raíz cuadrada de un número negativo−p−−−√=p–√i

Ejercicio Efectúe la suma indicada(2+−4−−−√)+(3+−16−−−−√)Solución Aplicamos la definición de la raíz cuadrada de un número negativo 

(2+−4−−−√)+(3+−16−−−−√)=(2+4–√i)+(3+16−−√i) 

Quedó planteada una suma de números complejos en su forma binómica. Antes de proceder a hacer la suma, simplificamos los radicales 

(2+−4−−−√)+(3+−16−−−−√)=(2+2i)+(3+4i) 

Sumamos 
                    =(2+3)+(2+4)i 

                    =5+6i 



Podemos sumar de manera rápida, como lo hacíamos con los polinomios, interpretando las partes reales como términos semejantes y las partes imaginarias similar.

Así para efectuar la suma (3+4i)+(−2+5i) primero quitamos los paréntesis y asociamos las partes reales y las partes imaginarias mentalmente, sumándolas algebraicamente3r+4ii−2r+5ii=1r+9ii

El elemento neutro de la suma y el opuesto o inverso aditivo 
El elemento neutro de la suma en números complejos es 0+0i,
abreviado por 0 
Efectivamente,   (a+bi)+(0+0i)=a+bi

El opuesto o inverso aditivo de un número complejo a+bi es 
−(a+bi)=−a−biEl opuesto de 4−3i es −4+3i. Verifica que su suma es igual a 0 




La resta de números complejos
Formalmente la resta z1−z2 es definida como la suma de z1 con el opuesto de z2
Puedes ver los detalles para verificar que(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)iAplicamos la definición de la resta, la suma con el inverso aditivo 

(a+bi)−(c+di)=(a+bi)+(−(c+di)) 

      =(a+bi)+(−c−di)         Opuesto de (c+di) 

      =(a−c)+(b−d)i             Suma de complejos 




La diferencia de dos números complejos es otro número complejo tal que
su parte real es la diferencia de las partes reales y 

y la parte imaginaria es la diferencia de las partes imaginarias 





Ejemplo Realice la resta (3−2i)−(4+6i). 
Solución(3−2i)−(4+6i)==(3−4)+(−2−6)i−1−8i



Podemos también proceder como lo hacíamos con polinomios: eliminando paréntesis y reduciendo términos semejantes 

Ejemplo Efectuar la resta con el método rápido(3+2i)−(5−6i)
Primero eliminamos paréntesis(3+2i)−(5−6i)==3r+2ii−5r+6ii−2r+8iiEn la última línea se sumaron las partes reales y las partes imaginarias, los términos semejantes. 




Sumas y restas combinadas
Con este método podemos efectuar rápidamente sumas y restas combinadas entre números complejos, reduciéndola a su forma binómica, 

Ejemplo Expresar en forma binómica o estándar(4+i)−(3−2i)+(7−3i) 



Suma y resta de números complejos dados en su forma polar No hay una forma para sumar o restar de manera abreviada números en su forma polar. Una alternativa para operar es pasarlos a su forma binómica, sumarlos o restarlos y si se requiere, pasar el resultado a la forma polar. 



Ejemplo Encuentre z1+z2 . Exprese el resultado en forma polar.z1=630ºz2=2−30º 
Pasamos los números a su forma binómica, usando la representación triginométricaz1=630º=6(cos(30º)+sen(30º)i)=33–√+3iz2=2−30º=3(cos(−30º)+sen(−30º)i)=3–√−1iEntonces sumamos en forma binómica=43–√−2iSi se requiere pasamos a la forma polar. 
El modulo |z1+z2|=13−−√,
El argumento, θ=atan(243√) 

En definitiva,z1+z2=13−−√atan(123√)