Question

Las coordenadas de los vértices y los focos de la elipse cuya ecuación es 20x² + 25y² = 100 son:

A. V(±2,0); F(±1,0)
B. V(0,±2);F(0,±1)
C. V(±√5,0); F(±1,0)
D. V(0,±√5);F(0,±1)

Answer 1

Opción C. V(±√5,0); F(±1,0)

Procedimiento:

Vértices $\left(h+a,\:k\right),\:\left(h-a,\:k\right)$ :

Ecuación de la elipse con un centro diferente al origen con centro en (h, k): $\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1$. Siendo a y b los semiejes mayor y menor.

Reescribimos la ecuación dada en forma de la ecuación general de la elipse.

$20x^2+25y^2=100$
$x^2+\frac{25}{20}y^2=5$
$\frac{1}{25}x^2+\frac{1}{20}y^2=\frac{1}{5}$
$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$
$\frac{\left(x-0\right)^2}{\left(\sqrt{5}\right)^2}+\frac{\left(y-0\right)^2}{2^2}=1$

Aplicando las propiedades de la elipse:

$\left(h,\:k\right)=\left(0,\:0\right),\:a=\sqrt{5},\:b=2$

Siendo el vértice igual a:

$\left(0+\sqrt{5},\:0\right),\:\left(0-\sqrt{5},\:0\right)$
$\left(\sqrt{5},\:0\right),\:\left(-\sqrt{5},\:0\right)$

Focos:

Definimos los focos como $\left(h+c,\:k\right),\:\left(h-c,\:k\right)$ donde $c=\sqrt{a^2-b^2}$ es la distancia desde el centro a uno de los focos.

Calculamos c

$c=\sqrt{\sqrt{5}^2-2^2}=\quad 1$

Sustituimos en $\left(h+c,\:k\right),\:\left(h-c,\:k\right)$ siendo las coordenadas de los focos:

$\left(0+1,\:0\right),\:\left(0-1,\:0\right)$
$\left(1,\:0\right),\:\left(-1,\:0\right)$

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