Las coordenadas de los vértices y los focos de la elipse cuya ecuación es 20x² + 25y² = 100 son:
A. V(±2,0); F(±1,0)
B. V(0,±2);F(0,±1)
C. V(±√5,0); F(±1,0)
D. V(0,±√5);F(0,±1)
Respuestas
Respuesta dada por:
4
Opción C. V(±√5,0); F(±1,0)
Procedimiento:
Vértices
:
Ecuación de la elipse con un centro diferente al origen con centro en (h, k):
. Siendo a y b los semiejes mayor y menor.
Reescribimos la ecuación dada en forma de la ecuación general de la elipse.
![20x^2+25y^2=100 20x^2+25y^2=100](https://tex.z-dn.net/?f=20x%5E2%2B25y%5E2%3D100)
![x^2+\frac{25}{20}y^2=5 x^2+\frac{25}{20}y^2=5](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B%5Cfrac%7B25%7D%7B20%7Dy%5E2%3D5)
![\frac{1}{25}x^2+\frac{1}{20}y^2=\frac{1}{5} \frac{1}{25}x^2+\frac{1}{20}y^2=\frac{1}{5}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B25%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B20%7Dy%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D)
![\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1 \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B4%7D%3D1)
![\frac{\left(x-0\right)^2}{\left(\sqrt{5}\right)^2}+\frac{\left(y-0\right)^2}{2^2}=1 \frac{\left(x-0\right)^2}{\left(\sqrt{5}\right)^2}+\frac{\left(y-0\right)^2}{2^2}=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cleft%28x-0%5Cright%29%5E2%7D%7B%5Cleft%28%5Csqrt%7B5%7D%5Cright%29%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%28y-0%5Cright%29%5E2%7D%7B2%5E2%7D%3D1)
Aplicando las propiedades de la elipse:
![\left(h,\:k\right)=\left(0,\:0\right),\:a=\sqrt{5},\:b=2 \left(h,\:k\right)=\left(0,\:0\right),\:a=\sqrt{5},\:b=2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28h%2C%5C%3Ak%5Cright%29%3D%5Cleft%280%2C%5C%3A0%5Cright%29%2C%5C%3Aa%3D%5Csqrt%7B5%7D%2C%5C%3Ab%3D2)
Siendo el vértice igual a:
![\left(0+\sqrt{5},\:0\right),\:\left(0-\sqrt{5},\:0\right) \left(0+\sqrt{5},\:0\right),\:\left(0-\sqrt{5},\:0\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%280%2B%5Csqrt%7B5%7D%2C%5C%3A0%5Cright%29%2C%5C%3A%5Cleft%280-%5Csqrt%7B5%7D%2C%5C%3A0%5Cright%29)
![\left(\sqrt{5},\:0\right),\:\left(-\sqrt{5},\:0\right) \left(\sqrt{5},\:0\right),\:\left(-\sqrt{5},\:0\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Csqrt%7B5%7D%2C%5C%3A0%5Cright%29%2C%5C%3A%5Cleft%28-%5Csqrt%7B5%7D%2C%5C%3A0%5Cright%29)
Focos:
Definimos los focos como
donde
es la distancia desde el centro a uno de los focos.
Calculamos c
![c=\sqrt{\sqrt{5}^2-2^2}=\quad 1 c=\sqrt{\sqrt{5}^2-2^2}=\quad 1](https://tex.z-dn.net/?f=c%3D%5Csqrt%7B%5Csqrt%7B5%7D%5E2-2%5E2%7D%3D%5Cquad+1)
Sustituimos en
siendo las coordenadas de los focos:
![\left(0+1,\:0\right),\:\left(0-1,\:0\right) \left(0+1,\:0\right),\:\left(0-1,\:0\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%280%2B1%2C%5C%3A0%5Cright%29%2C%5C%3A%5Cleft%280-1%2C%5C%3A0%5Cright%29)
![\left(1,\:0\right),\:\left(-1,\:0\right) \left(1,\:0\right),\:\left(-1,\:0\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%281%2C%5C%3A0%5Cright%29%2C%5C%3A%5Cleft%28-1%2C%5C%3A0%5Cright%29)
Puedes encontrar más ejercicios acerca del cálculo de los vértices y focos de una elipse en https://brainly.lat/tarea/1022267
Procedimiento:
Vértices
Ecuación de la elipse con un centro diferente al origen con centro en (h, k):
Reescribimos la ecuación dada en forma de la ecuación general de la elipse.
Aplicando las propiedades de la elipse:
Siendo el vértice igual a:
Focos:
Definimos los focos como
Calculamos c
Sustituimos en
Puedes encontrar más ejercicios acerca del cálculo de los vértices y focos de una elipse en https://brainly.lat/tarea/1022267
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