Determine la longitud de arco de la gráfica y=4x^3/2 del origen (0, 0) al punto (1, 4) y elabore la respectiva gráfica.
MiiL3:
Hola, ¿Ya lo realizaste? Yo tengo el mismo problema...
L = │√(1 + f ´(x)²)dx
⌡a
para el ejercicio que planteas:
a = 0
b = 1
f ´(x) = 6√x
f ´(x)² = 36x
sustituimos en la integral y desarrollamos:
⌠1
L = │√(1 + 36x)dx ⇒
⌡0
1
L = (1/54)√(1 + 36x)³ ⇒
0
L = (1/54)[√(1 + 36(1))³ - √(1 + 36(0))³] ⇒
L = (1/54)[√(37)³ - √(1)³] ⇒
L = (1/54)[37√(37) - 1] ⇒
L ≈ 4.15 Unidades de Longitud
https://www.youtube.com/watch?v=jMQsoGcvND8
Respuestas
Respuesta dada por:
10
Respuesta:
Para calcular la longitud de arco, se puede aplicar la integración, aplicando la siguiente formula.
L =![\int\limits^a_b { \sqrt{1+ (f'(x))^{2} } } \, dx \int\limits^a_b { \sqrt{1+ (f'(x))^{2} } } \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits%5Ea_b+%7B+%5Csqrt%7B1%2B+%28f%27%28x%29%29%5E%7B2%7D+%7D+%7D+%5C%2C+dx+)
Sabiendo que f(x) = 4x³/² conseguimos a f'(x) aplicando derivadas.
f'(x) = 4·3/2 · X ³/² ⁻ ¹
f'(x) = 6√x
Como f'(x) esta en función de la variable x, se tomaran como limite de integración las coordenadas de la variable x.
Aplicando la ecuación de la integral, tenemos:
L =![\int\limits^1_0 { \sqrt{1+ (6 \sqrt{x} )^{2} } } \, dx \int\limits^1_0 { \sqrt{1+ (6 \sqrt{x} )^{2} } } \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B+%5Csqrt%7B1%2B+%286+%5Csqrt%7Bx%7D+%29%5E%7B2%7D+%7D+%7D+%5C%2C+dx)
Simplificamos:
L =
Para resolver esta integral aplicaremos un cambio de variable:
1+36x = w²
Diferenciamos ambos lado de la ecuación ( se deriva ambos lados) :
36 dx = 2w dw ∴ dx = 2w/36 dw
Introducimos el cambio en la integral y resolvemos:
![\int\ { \sqrt{w^{2} } *1/18* w } \, dw = 1/18 \int\ { w^{2} } \, dw =( 1/18) ( w^{3} /3) \int\ { \sqrt{w^{2} } *1/18* w } \, dw = 1/18 \int\ { w^{2} } \, dw =( 1/18) ( w^{3} /3)](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5C+%7B+%5Csqrt%7Bw%5E%7B2%7D+%7D+%2A1%2F18%2A+w++%7D+%5C%2C+dw++%3D+1%2F18+%5Cint%5C+%7B+w%5E%7B2%7D+%7D+%5C%2C+dw+%3D%28+1%2F18%29+%28+w%5E%7B3%7D+%2F3%29)
Devolvemos el cambio de variable y tenemos:
I =![1/54 ( \sqrt{1+36x} )^{3} 1/54 ( \sqrt{1+36x} )^{3}](https://tex.z-dn.net/?f=1%2F54+%28+%5Csqrt%7B1%2B36x%7D+%29%5E%7B3%7D++)
Evaluamos la integral en limite superior menos limite inferior
I =![(1/24) ( \sqrt{1+36(1)} )^{3} - (1/24) ( \sqrt{1+36(0)} )^{3} = 4.15 u (1/24) ( \sqrt{1+36(1)} )^{3} - (1/24) ( \sqrt{1+36(0)} )^{3} = 4.15 u](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2F24%29+%28+%5Csqrt%7B1%2B36%281%29%7D+%29%5E%7B3%7D+-+%281%2F24%29+%28+%5Csqrt%7B1%2B36%280%29%7D+%29%5E%7B3%7D+%3D+4.15+u)
La longitud del arco es de 4.15 unidades de longitud.
Para calcular la longitud de arco, se puede aplicar la integración, aplicando la siguiente formula.
L =
Sabiendo que f(x) = 4x³/² conseguimos a f'(x) aplicando derivadas.
f'(x) = 4·3/2 · X ³/² ⁻ ¹
f'(x) = 6√x
Como f'(x) esta en función de la variable x, se tomaran como limite de integración las coordenadas de la variable x.
Aplicando la ecuación de la integral, tenemos:
L =
Simplificamos:
L =
Para resolver esta integral aplicaremos un cambio de variable:
1+36x = w²
Diferenciamos ambos lado de la ecuación ( se deriva ambos lados) :
36 dx = 2w dw ∴ dx = 2w/36 dw
Introducimos el cambio en la integral y resolvemos:
Devolvemos el cambio de variable y tenemos:
I =
Evaluamos la integral en limite superior menos limite inferior
I =
La longitud del arco es de 4.15 unidades de longitud.
Preguntas similares
hace 6 años
hace 6 años
hace 8 años
hace 8 años
hace 8 años