Question

SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES, ENFOQUE ECUACIONES DIFERENCIALES

Determine la solución general usando series de potencias de la ecuación diferencial y’+y=0 e identifique la función elemental que representa esta serie:
1. y(x)=c_0 e^(-x)
2. y(x)=c_0+c_0 x+c_0/2 x^2+c_0/24 x^3+c_0/120 x^4+⋯
3. y(x)=c_0-c_0 x+c_0/2 x^2-c_0/6 x^3+c_0/24 x^4-…
4. y(x)=c_0 e^(-2x)

Marque A si 1 y 2 son correctas.
Marque B si 1 y 3 son correctas.
Marque C si 2 y 4 son correctas.
Marque D si 3 y 4 son correctas

Para mayor claridad el ejercicio presento imagen 

Answer 1

$\displaystyle \text{Sea }y=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n \text{ entonces }y'=\sum_{n=1}^{\infty}c_nnx^{n-1}\\ \\ \text{Luego tenemos la siguiente ecuaci\'on}\\ \\ \sum_{n=1}^{\infty}c_nnx^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0\\ \\ \\ \sum_{n=0}^{\infty}c_{n+1}(n+1)x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0\\ \\ \\ \sum_{n=0}^{\infty}c_{n+1}(n+1)x^{n}+c_nx^n=0\\ \\ \\ \sum_{n=0}^{\infty}[c_{n+1}(n+1)+c_n]x^n=0$


$c_{n+1}(n+1)+c_n=0~,~\forall n\geq 0\\ \\ \text{Cuando }n=0:~~c_1+c_0=0\to c_1=-c_0\\ \\ \text{Cuando }n=1:~~2c_2+c_1=0\to c_2=\dfrac{1}{2}c_0\\ \\ \text{Cuando }n=2:~~3c_3+c_2=0\to c_3=-\dfrac{1}{2\cdot3}c_0\\ \\ \text{Cuando }n=3:~~4c_4+c_3=0\to c_4=\dfrac{1}{2\cdot3\cdot4}c_0\\ \\ \text{Cuando }n=k:~~c_{k+1}=\dfrac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!}c_0\\ \\ \\ \text{Entonces }c_n=\dfrac{(-1)^n}{n!}c_0~,~\forall n\geq 0$


$\displaystyle \text{Por ello }\\ \\ \\ \hspace*{1cm}\huge\boxed{y=c_0\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n!}x^n=c_0~e^{-x}}$