Question

derivadas implicitas y = 2sen(xy)

Answer 1

$\frac{dy}{dx},\:\:y\:=\:2sen\left(xy\right) \\ \\ \textbf{Derivamos ambos lados de la ecuacion con respecto x} \\ \\ \frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(2\sin \left(xy\right)\right) \\\\ = \sin \left(u\right),\:\:u=xy \\ \\ 2\frac{d}{du}\left(\sin \left(u\right)\right)\frac{d}{dx}\left(xy\right) \\ \\ 2\cos \left(u\right)\left(y+x\frac{d}{dx}\left(y\right)\right) \\ \\ \textbf{Sustituimos} \\ \\ 2\cos \left(xy\right)\left(y+x\frac{d}{dx}\left(y\right)\right)$

$\frac{d}{dx}\left(y\right)=2\cos \left(xy\right)\left(y+x\frac{d}{dx}\left(y\right)\right) \\ \\ \textbf{Por\:conveniencia,\:escribir\:}\frac{d}{dx}\left(y\right)\mathrm{\:como\:}y^{'\:}} \\ \\ y^{'\:}=2\cos \left(xy\right)\left(y+xy^{'\:}\right) \\ \\ 2\cos \left(xy\right)\left(y+xy^{'\:}\right)$

$2\cos \left(xy\right)\cdot \:y+2\cos \left(xy\right)\cdot \:xy^{'\:} \\ \\ y^{'\:}=2y\cos \left(yx\right)+2xy^{'\:}\cos \left(yx\right) \\\\ y^{'\:}-2xy^{'\:}\cos \left(yx\right)=2y\cos \left(yx\right)+2xy^{'\:}\cos \left(yx\right)-2xy^{'\:}\cos \left(yx\right) \\ \\ y^{'\:}-2xy^{'\:}\cos \left(yx\right)=2y\cos \left(yx\right) \\ \\ y^{'\:}-2xy^{'\:}\cos \left(yx\right) \\ \\ =y^{'\:}\left(-2x\cos \left(yx\right)+1\right)$

$y^{'\:}\left(-2x\cos \left(yx\right)+1\right)=2y\cos \left(yx\right) \\ \\ \frac{y^{'\:}\left(-2x\cos \left(yx\right)+1\right)}{-2x\cos \left(yx\right)+1}=\frac{2y\cos \left(yx\right)}{-2x\cos \left(yx\right)+1} \\ \\y^{'\:}=\frac{2y\cos \left(yx\right)}{-2x\cos \left(yx\right)+1} \\ \\ \textbf{Reescribimos} \\ \\ \frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{2y\cos \left(yx\right)}{-2x\cos \left(yx\right)+1}$

¡Espero haberte ayudado, saludos!