Question

Halle el valor medio de la función (1+x^2)/x^2 en el intervalo [2,5].

Answer 1

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor, ya que es un caso especial.
Para hallar el valor medio solo seguimos la fórmula aplicada la integral de Riemann: $\frac{1}{b-a} \int\limits^b_a {f(x)} \, dx$

Sustituimos valores:
Donde a=2 & b=5
$\frac{1}{5-2} \int\limits^5_2 { \frac{1+ x^{2} }{ x^{2} } } \, dx$
Repartimos la integral:
$\frac{1}{5-2}( \int\limits^5_2 { \frac{1}{ x^{2} } } \, dx+ \int\limits^5_2 { \frac{ x^{2} }{ x^{2} } } \, dx)$
Simplificamos y pasamos el denominador de x al cuadrado como numerador y su exponente lo convertimos en negativo:
$\frac{1}{5-2}( \int\limits^5_2 x^{-2} \, dx+ \int\limits^5_2 }1 \, dx)$
Son integrales directas así que simplemente procedemos a integrar:
$\frac{1}{5-2}( \frac{ x^{-1} }{-1} +x)$
Y la equis evaluada desde 2 hasta 5, y procedemos a aplicar el teorema fundamental del calculo en la función $\frac{1}{3}( x-\frac{1}{x} )$
Y nos quedaría:
$\frac{1}{3}[( 5-2)-(\frac{1}{5}-\frac{1}{2})] =\frac{1}{3}( \frac{33}{10} )=\frac{11}{10}$