Question

Me pueden ayudar en estos 3 problemas de álgebra por favor.
Gracias de antemano.

Answer 1

Utilizando el teorema del binomio de Newton, podemos predecir que el término general tiene la forma:

$\left(\begin{array}{ccc}n\\i\end{array}\right) a^{n-i} b^{i}$

Donde:

n: es el exponente del binomio

i: posición del término en el desarrollo del binomio disminuido en 1

a, b: términos del binomio.

15.- Halle el término central de:

$\left(\ \dfrac{a}{x}+ \dfrac{x}{a} \right)^{10}$

Solución: como n = 10 (el exponente), entonces la cantidad de términos es 11 y el término central es el quinto con lo que i = 5.

El quinto término tendrá la forma:

$\left(\begin{array}{ccc}10\\5\end{array}\right) \cdot \left(\ \dfrac{a}{x}\right)^{10-5} \cdot\left(\ \dfrac{x}{a}\right)^{5}= \left(\begin{array}{ccc}10\\5\end{array}\right) \cdot \left(\ \dfrac{ \not{a^{5}}}{ \not{x^{5}} }\right) \cdot\left(\ \dfrac{ \not{x^{5}}}{ \not{a^{5}} }\right)=\left(\begin{array}{ccc}10\\5\end{array}\right)$

Al hacer la simplificación, la respuesta queda dada por la combinación de 10 elementos tomados de 5 en 5:

$\left(\begin{array}{ccc}10\\5\end{array}\right)= \dfrac{10!}{5! \cdot 5!}= \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \not{6} \cdot \not{5!}}{ \not{5!} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \not{3} \cdot \not{2}} \\ \\ \left(\begin{array}{ccc}10\\5\end{array}\right)= \boxed{252}$

La respuesta es B)

16.- Halle el término independiente de ''x'' si existe en la expansión de:

$\left(\ \sqrt[3]{x} +\dfrac{1}{ \sqrt[6]{x} }\right)^{12}$

Solución: En este caso tenemos,

$a= \sqrt[3]{x} \\ \\ b= \dfrac{1}{ \sqrt[6]{x} } \\ \\ n=12$

Y el término general debe tener la forma:

$\left(\begin{array}{ccc}12\\i\end{array}\right) \cdot (\sqrt[3]{x} )^{12-i} \cdot\left(\ \dfrac{1}{ \sqrt[6]{x} }\right)^{i}$

Igualando a cero el exponente de ''x'':

$(\sqrt[3]{x} )^{12-i} \cdot\left(\ \dfrac{1}{ \sqrt[6]{x} }\right)^{i} = x^{0} \\ \\ (x^{1/3}) ^{12-i} \cdot (x^{-1/6})^{i} = x^{0} \\ \\ x^{4-i/3} \cdot x^{-i/6}= x^{0} \\ \\ x^{4-i/3-i/6}= x^{0} \\ \\ 4- \dfrac{i}{3}- \dfrac{i}{6}=0 \\ \\ 4= \dfrac{i}{2} \\ \\ \boxed{i=8}$

El término buscado es el octavo:

$\left(\begin{array}{ccc}12\\7\end{array}\right) \cdot (\sqrt[3]{x})^{12-7} \cdot\left(\ \dfrac{1}{ \sqrt[6]{x}}\right)^{7}$

Sabemos que los términos que no contengan ''x'' se cancelarán por la premisa que usamos, y solo es cuestión de resolver:

$\left(\begin{array}{ccc}12\\7\end{array}\right)= \dfrac{12!}{5! \cdot 7!}= \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \not{7!}}{ \not{7!}\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \\ \\ \left(\begin{array}{ccc}12\\7\end{array}\right)= \boxed{792}$

La respuesta es C)

17.- Halle el lugar que ocupa un término del desarrollo:

$\left(\ 3 x^{2}+ \dfrac{4}{x}\right)^{18}$

que tiene como parte literal a x¹⁵.

Solución: En este caso tenemos,

$a=3 x^{2} \\ \\ b= \dfrac{4}{x} \\ \\ n=18$

Una vez más podemos anticipar la forma del término general:

$\left(\begin{array}{ccc}18\\i\end{array}\right) \cdot (3x^{2})^{18-i} \cdot\left(\ \dfrac{4}{x}\right)^{i}$

Ahora debemos igualar a x¹⁵ los términos que contengan x:

$(x^{2})^{18-i} \cdot (x^{-1})^{i} = x^{15} \\ \\ x^{36-2i} \cdot x^{-i}= x^{15} \\ \\ x^{36-3i}= x^{15} \\ \\ 36-3i=15 \\ \\ 21=3i \therefore \boxed{i=7}$

Respuesta: Como la variable ''i'' representa el lugar del término disminuido en 1, la opción correcta es D)

¡¡Un saludo!!