Question

1. Sabiendo que lim x= 0 sen x/x ; calcula lim x=a sen (x-a)/x^2-a^2


2. Existe el lim x= -4 |x+4| / x+4 ?

Answer 1

$\displaystyle L=\lim_{x \to a}\frac{\sin(x-a)}{x^2-a^2}= \lim_{x\to a}\frac{\sin(x-a)}{(x+a)(x-a)}=\lim_{x\to a}\frac{\sin(x-a)}{x-a}\cdot \lim_{x\to a} \frac{1}{x+a} \\[4pt] \bullet \ \lim_{x\to a}\frac{\sin(x-a)}{x-a} \equiv \lim_{x-a\to 0}\frac{\sin(x-a)}{x-a}=1 \\[4pt] \Rightarrow \ L=1\cdot \lim_{x\to a} \frac{1}{x+a}=\frac{1}{a+a}=\frac{1}{2a}$


$\displaystyle L=\lim_{x\to -4}\frac{|x+4|}{x+4} \\[4pt] \bullet \ x\to -4^{-} \ \Rightarrow \ x\ \textless \ -4 \ \Rightarrow \ x+4\ \textless \ 0 \ \Rightarrow \ |x+4|=-(x+4) \\ \Rightarrow \ L_1=\lim_{x\to -4^{-}}\frac{|x+4|}{x+4}=\lim_{x\to -4^{-}}\frac{-(x+4)}{x+4}=\lim_{x\to -4^{-}}(-1)=-1 \\[4pt] \bullet \ x\to -4^{+} \ \Rightarrow \ x\ \textgreater \ -4 \ \Rightarrow \ x+4\ \textgreater \ 0 \ \Rightarrow \ |x+4|=x+4 \\ \Rightarrow \ L_2=\lim_{x\to -4^{+}}\frac{|x+4|}{x+4}=\lim_{x\to -4^{+}}\frac{x+4}{x+4}=\lim_{x\to -4^{+}}1=1 \\[4pt]$

$\text{Como los l\'imites laterales son diferentes }L_1\neq L_2 \\ \text{se concluye que el l\'imite no existe.}$