Question

¿Área superficial de la pirámide sabiendo que el volumen de cada cubo es 27cm3? Nota: NO es 900

Answer 1

Si el volumen de un solo cubo es 27 cm³, podemos calcular su arista:

$V_{cubo}= l^{3} \\ \\ 27 \ cm^{3}= l^{3} \\ \\ l= \sqrt[3]{27 \ cm^{3} }=3 \ [cm]$

Ahora, calculemos el área de una pared cuadrada de lado 3 cm:

$A_{pared}= l^{2} \\ \\ A_{pared}= (3 \ cm)^{2} =9 \ [cm^{2}]$

El truco consiste en ir contando estas paredes por cada nivel.

Si llamamos el nivel 1 al cubo que está en la parte superior, en el primer nivel tenemos:

n₁: Hay 1 cara en el techo, y 4 son laterales. Ambas suman 5, así que

$A_{1}=5 \times 9 \ cm^{2}=45 \ [cm^{2}]$

n₂: Si movemos el cubo del nivel 1 hacia una esquina, identificamos que en los techos del nivel 2 hay 3 caras, lateralmente están 8 caras y el piso no se cuenta. Hay en total 8 + 3 = 11 caras.

$A_{2}=11 \times 9 \ cm^{2}=99 \ [ cm^{2}]$

n₃: Si movemos el nivel 2 hacia una esquina, se visualiza que en el techo del nivel 3 hay (16 - 4) = 12 caras. Lateralmente están las 16, luego en total suman 12 + 16 = 28 caras.

$A_{3}=28 \times 9 \ cm^{2}=252 \ [cm^{2}]$

n₄: Moviendo el nivel 3 hacia una esquina, contamos en el techo (36 - 16) = 20 caras. Lateralmente tenemos las 36, luego en total suman 56.

$A_{4}= 56 \times 9 \ cm=504 \ [ cm^{2}]$

n₅: Moviendo el nivel 4 a una esquina contamos en el techo (64 - 36) = 28 caras. Adicionalmente están las 64 caras laterales, luego la suma de ambas da 92 caras.

$A_{5}=92 \times 9 \ cm^{2}=828 \ [ cm^{2}]$

n₆: Siguiendo la misma dinámica de los anteriores conteos en los techos tenemos (100 - 64) = 36 caras. Adicionalmente existen 100 caras laterales y en el piso son otras 100 más. Luego la suma da 36 + 100 + 100 = 236 caras.

$A_{6}=236 \times 9 \ cm^{2} =2124 \ [cm^{2}]$

Finalmente para el área superficial pedida hay que sumar las aportaciones en cada nivel:

$A_{total}= \Sigma A_{i}=45+99+252+504+828+2124 \\ \\ \boxed{A_{total}=3852 \ [ cm^{2}]}$

Espero haberte ayudado y cualquier duda me la dices ;)