Question

Problema 10. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°.

2sen^2 (⁡x)+cos⁡(x)-1=0

Answer 1

Problema 10. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°.

2sen^2 (⁡x)+cos⁡(x)-1=0 

$Por \ propiedad \ Pitagorica \to 1= sen^2 \alpha +cos^2 \alpha , \\ \\entonces \ podemos \ decir \ que \to sen^2 \alpha = 1- cos ^2 \alpha \\ \\ 2sen^2 \alpha + cos \alpha -1 = 0 \\ \\ Reemplazamos \quad \to 2(1-cos^2 \alpha ) +cos \alpha -1= 0 \quad Distribuimos \\ \\ 2-2cos^2 \alpha +cos \alpha -1= 0 \qquad resolvemos \\ \\ -2cos^2 \alpha +cos \alpha \alpha -1+2= 0 \qquad cos \alpha = x \\ \\ -2x^2 +x +1= 0\qquad resolvemos \ con \ Bhaskara$

$-2x^2 +x +1= 0\qquad a= -2 \qquad b= 1\qquad c= 1 \\ \\ \\ x_{1 \ y\ 2}= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \\ \\ x_{1 \ y\ 2}= \dfrac{-1\pm \sqrt{(1)^2-4(-2)(1)}}{2(-2)} \\ \\ \\ x_{1 \ y\ 2}= \dfrac{-1\pm \sqrt{1+8}}{-4} \\ \\ \\ x_{1 \ y\ 2}= \dfrac{-1\pm \sqrt{9}}{-4} \\ \\ \\ x_{1 \ y\ 2}= \dfrac{-1\pm3}{-4} \\ \\ \\ x_{1 }= \dfrac{-1+3}{-4} \qquad\qquad x_{\ 2}= \dfrac{-1-3}{-4}$


$x_{1 }= \dfrac{2}{-4} \qquad\qquad x_{\ 2}= \dfrac{-4}{-4} \\ \\ \\ x_{1 }= - \dfrac{1}{2} \qquad\qquad x_{\ 2}= 1 \\ \\ Entonces \to x= cos \alpha \\ \\ x_1= - \dfrac{1}{2} \qquad cos \alpha= - \dfrac{1}{2}\qquad \boxed{ \alpha = 120\º; \alpha = 240\º } \\ \\ x_2= +1 \qquad cos \alpha=1\qquad \boxed{ \alpha = 90\º; \alpha = 270\º}$

Los valores que satisfacen esta ecuación son 90º, 270º y 120º, 240º

Espero que te sirva, salu2!!!!