Question

. Para la función dada determine la solución real del respectivo dominio y rango y compruebe con Geogebra

f(x)=(4x^2-5)/(2x^2+8)

urgente porfavor

Answer 1

Respuesta: 

Dominio de la función son todos los reales y el rango el intervalo [-5/8,2). 

Explicación: 

Dada la función f(x): 

                                                       $y = \frac{4 x^{2} -5}{2 x^{2} +8}$

Para obtener el dominio debemos buscar las respectivas restricciones. 

1- 2x² + 8 ≠ 0  ∴  Se puede observar que esta función nunca sera cero. 

Se concluye que el dominio de la función dada son todos los reales (R). 

Para obtener el rango se debe buscar la función inversa. Para ello sustituimos x por y, y posteriormente despejamos a y.

                                                 $x = \frac{4 y^{2}-5 }{2 y^{2} +8 }$

Convertimos lineal la ecuación: 

                                                    4y²-5 = 2xy² + 8x

Separamos en términos semejantes.

                                                        4y²-2xy² = 8x - 5

Sacamos factor común y² y pasamos a dividir el término.

                                                        y² = (8x-5)/(4-2x)

Aplicamos raíz cuadrada en ambos lado de la igualdad.

                                                      $y^{-1} = \sqrt{ \frac{8x-5}{4-2x} }$

Buscamos el dominio de f⁻¹(x) el cual representa el dominio de f(x).

Restricciones: 

1-    $\frac{8x+5}{4-2x} \ \textgreater \ 0$

Para que se cumpla la restricción se pueden tener dos casos, el primero que tanto el numerador como el denominador sea positivo, segundo caso es cuando el numerador y denominador son negativos. 

Partiendo de la restricción 1 , debemos buscar cuando el numerador y denominador se hacen cero.

a) 8x+5=0 ∴ x = -5/8
b) 4-2x = 0 ∴ x= 2

Aplicamos la ley del cementerio. 

                                   -∞           -5/8          2          +∞ 
                       8x+5               -      0      +           +         
                       4-2x                +             +   0       -
                       Sol:                 -              +           - 

La solución seria el intervalo [-5/8,2)  donde es positivo, ya que necesitamos que sea mayor que cero por la restricción, ademas el denominador no puede ser cero por ello se deja al dos como abierto. 

El rango de f(x) seria [-5/8,2).

Ver figura adjunta.