Question

(Integrales)La adquisición de una nueva maquinaria se espera produzca un ahorro en los
costos de operación de manera que cuando la maquinaria tenga x años de antigüedad, el
ahorro en los costos de operación sea f ( x) dólares por año, donde
f(x)=1000+5000 x

a. ¿Cuánto se ahorrará en costos de operación durante los primeros 6 años de uso de la
maquinara?

b. Si la maquinaria se adquirió a un precio de $67500 dólares, ¿Cuánto tiempo tardará en
pagarse por sí sola?

Answer 1

Respuesta: 

Tenemos la función f(x) para obtener los costos y años debemos encontrar el area bajo de curva f(x), para ello procedemos a integrar: 

                                             F(x) =  $\int\ {1000+ 5000x} \, dx$

Aplicando propiedad de las integrales, separamos en sumando: 

                                             F(x) =  $\int\ {1000} \, dx + \int\ {5000x} \, dx$

Aplicamos inmediatas de la integral, obteniendo:

                                                 F(x) = 1000x + 2500x²

1- Calculamos el valor de F(x) para x = 6 años. Tenemos: 

                                              F(x) = 1000·(6) +2500(6)²

                                                        F(x) = $ 96000

Se ahorrara $96000 los primeros 6 años. 

2- Para un precio de $67500 despejamos los años que seria la variable x. 

                                               $67500 = 1000x + 2500x²

Colocamos todo a un lado de la igualdad: 

                                             2500x² + 1000x - 67500 = 0

Factorizando tenemos: 

X1 = 5 años
X2 = -5.4 años

Por tanto, se tardará en pagarse a si misma 5 años.