Question

Un alambre de metal se alarga 2 mm cuando está sometido a una fuerza de tensión. ¿Qué
alargamiento se puede esperar con esa misma fuerza si el diámetro del alambre se reduce
a la mitad de su valor inicial? Suponga que el alambre de metal conserva su mismo
diámetro, pero que su longitud se duplica. ¿Qué alargamiento se podría esperar entonces
con la misma carga?

Answer 1

- El alargamiento de un metal (δ) sometido a una fuerza de tracción, sin considerar su peso, esta dada por la expresión:

    δ = F x L / A x E  (Ecuación 1)

- Donde: 
  
  - δ = Alargamiento Total

  - F = Fuerza que actúa

  - L = Longitud del metal

  - A = Sección transversal del metal 

  -  E = Módulo de Elasticidad del metal.

- Sustituyendo la sección transversal por: A = πD²/4, el alargamiento total δ, queda:

 δ = 4 x F x L / π x D² x E (Ecuación 2)

- Denotemos con el subíndice  cero (₀) la condición inicial, cuando el alargamiento del metal es δ₀ = 2 mm, entonces:

  δ₀ = 4 x F₀ x L₀ /π x D₀ x E (Ecuación 3)

- Para la segunda condición, es decir que el diámetro del metal se reduce a la mitad, utilizaremos el subíndice uno (₁), entonces:

  δ₁ = 4 x F₁ x L₁ /π x D₁ (Ecuación 4)

- Dividiendo la Ecuación 3 entre La Ecuación 4 y sabiendo que la longitud del metal, la fuerza que actúa y el módulo de Elasticidad son iguales: L₀=L₁, F₀ = F₁, E₀ = E₁ y que D₁ = D₀ / 2,  resulta:

  δ₀ / δ₁ = D₁² / D₀²  (Ecuación 5)

- Sustituyendo D₁ en la Ecuación 5 y sabiendo que δ₀ = 2 mm, resulta:

  δ₀ / δ₁ = (D₀² / 2²) / D₀²  ⇒ δ₁ =  4 x δ₀  ⇒ δ₁ = 8 mm

- El resultado indica que cuando se reduce el diámetro del metal disminuye a la mitad el alargamiento del metal debido a la fuerza de tracción, es mayor. Como el diámetro se encuentra en el dividendo al disminuir éste el alargamiento aumenta. En caso contrario, si el diámetro aumenta el alargamiento disminuye.

- Cuando es diámetro queda igual, D₁ = D₀ y la longitud del metal se duplica, es decir,  L₁ = 2L₀

- El alargamiento del metal, será:
  
   δ₀ / δ₁ =  L₀ / L₁  = L₀ / 2 L₀ ⇒ δ₁ = 2 x δ₀  ⇒δ₁ = 4 mm

- Cuando la longitud se duplica también el alargamiento se duplica es decir, el alargamiento es proporcional a la longitud, ya que la longitud se encuentra en el numerador de la Ecuación 1.