Question

Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales. D_11 z,〖 D〗_22 z,〖 D〗_12 z=D_21 z

a) f(x,y)= sen(xy);(2,π/4)

Answer 1

1. D_11 (Es decir, la primera derivada con respecto a x y la segunda con respecto a y)

Al derivar primero respecto a x se obtiene:

D_1 = y*cos(xy)

Al derivar por segunda vez con respecto a y se obtiene:

D_11 = cos(xy) + y * (- x*sen(xy)) = cos(xy) - xysen(xy)

2. D_22 (Es decir, las dos primeras derivadas respecto a x y luego otras dos derivadas con respecto a y)

Al derivar dos veces con respecto a x se obtiene:

D_2 = D(D_1) = D(y*cos(xy)) = -(y^2)*sen(xy)

Ahora esa expresión se deriva dos veces con respecto a y:

D_22 = D(D_22) = D(-2y*sen(xy) + (-(y^2)*cos(xy)) = -2*sen(xy) + (-2y)*xcos(xy) - (2y*cos(xy) + -(y^2)*xsen(xy))

D_22 = -2*sen(xy) -2xycos(xy) - 2ycos(xy) - x(y^2)sen(xy)

3. D_12 (Es decir, la primera derivada se hace con respecto a x y luego se deriva dos veces respecto a y)

Al derivar respecto a x se obtiene:

D_1 = y*cos(xy)

Ahora se deriva dos veces respecto a y:

D_12 = D(D_11) = D(D(y*cos(xy)) = D(cos(xy) + y*-xsen(xy)) = D(cos(xy) - xysen(xy)) = -xsen(xy) - (xsen(xy) + (x^2)*y*cos(xy)) = -xsen(xy) - xsen(xy) - (x^2)ycos(xy)

D_12 = -2xsen(xy) - (x^2)ycos(xy)

4. D_21 (Es decir, las dos primeras derivadas se hacen con respecto a x y luego se deriva una vez respecto a y)

Al derivar respecto a x se obtiene:

D_1 = y*cos(xy)

Al derivar otra vez con respecto a x se tiene:

D_2 = -(y^2)sen(xy)

Y ahora, se deriva con respecto a y:

D_21 = D(-(y^2)sen(xy)) = -2y*sen(xy) - ((y^2)*x*cos(xy)) = -2ysen(xy) -x(y^2)cos(xy)