Alguien me puede ayudar con este ejercicio gracias
Dadas las funciones f(x)=(3x+2)/5 y g(x)=2/(x-3)
Determine analíticamente
f+g
g*f
(f o g)
(g o f)
Respuestas
Respuesta dada por:
3
¡Buenas!
Primero definamos el dominio y rango de cada función
![f(x)= \dfrac{(3x+2)}{5} \\ \\ Dominio:\ \{Reales\} \\ \\ Rango:\ \{Reales\} \\ \\ g(x)= \dfrac{2}{x-3} \\ \\ Dominio:\ \{Reales\ - \{3\} \} \\ \\ x-3 \neq 0 \\ \\ x \neq 3\\ \\ Rango:\ \{Reales\ - \{0\} \} \\ \\ \dfrac{2}{x-3}=g(x) \\ \\ 2=g(x)[x-3] \\ \\ \dfrac{2}{g(x)}=x-3 \\ \\ \\ \dfrac{2}{g(x)} +3=x \\ \\ \\ \dfrac{2+3g(x)}{g(x)} \\ \\ \\ g(x) \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=+f%28x%29%3D+%5Cdfrac%7B%283x%2B2%29%7D%7B5%7D++%5C%5C++%5C%5C+Dominio%3A%5C+%5C%7BReales%5C%7D+%5C%5C++%5C%5C+Rango%3A%5C+%5C%7BReales%5C%7D++%5C%5C++%5C%5C++g%28x%29%3D+%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx-3%7D++%5C%5C++%5C%5C+Dominio%3A%5C+%5C%7BReales%5C+-+%5C%7B3%5C%7D+%5C%7D++%5C%5C++%5C%5C+x-3+%5Cneq+0+%5C%5C++%5C%5C+x+%5Cneq+3%5C%5C++%5C%5C+Rango%3A%5C++%5C%7BReales%5C+-+%5C%7B0%5C%7D+%5C%7D+++%5C%5C++%5C%5C+%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx-3%7D%3Dg%28x%29+%5C%5C++%5C%5C+2%3Dg%28x%29%5Bx-3%5D+%5C%5C++%5C%5C++%5Cdfrac%7B2%7D%7Bg%28x%29%7D%3Dx-3+%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5Cdfrac%7B2%7D%7Bg%28x%29%7D+%2B3%3Dx+%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5Cdfrac%7B2%2B3g%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D++%5C%5C++%5C%5C+%5C%5C++g%28x%29+%5Cneq+0 "f(x)= \dfrac{(3x+2)}{5} \\ \\ Dominio:\ \{Reales\} \\ \\ Rango:\ \{Reales\} \\ \\ g(x)= \dfrac{2}{x-3} \\ \\ Dominio:\ \{Reales\ - \{3\} \} \\ \\ x-3 \neq 0 \\ \\ x \neq 3\\ \\ Rango:\ \{Reales\ - \{0\} \} \\ \\ \dfrac{2}{x-3}=g(x) \\ \\ 2=g(x)[x-3] \\ \\ \dfrac{2}{g(x)}=x-3 \\ \\ \\ \dfrac{2}{g(x)} +3=x \\ \\ \\ \dfrac{2+3g(x)}{g(x)} \\ \\ \\ g(x) \neq 0")
Ahora vamos a resolver la suma de funciones
![f(x)+g(x) \\ \\ \dfrac{3x+2}{5} + \dfrac{2}{x-3} \\ \\ \\ \dfrac{(3x+2)(x-3)+5(2)}{5(x-3)} \\ \\ \\ \dfrac{3x^{2}-7x-6+10}{5x-15} \\ \\ \\ \dfrac{3x^{2}-7x+4}{5x-15} \\ \\ Dominio:\ \{Reales - \{3\} \} \\ \\ 5x-15 \neq 0 \\ \\ 5x \neq 15 \\ \\ x \neq 3 \\ \\ Rango:\ \{ \ \textless \ - infinito;\ \dfrac{11-2 \sqrt{3} }{5} ]\ [\dfrac{11+2 \sqrt{3} }{5};\ infinito+\ \textgreater \ \}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%2Bg%28x%29+%5C%5C++%5C%5C+%5Cdfrac%7B3x%2B2%7D%7B5%7D+%2B+%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx-3%7D+%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5Cdfrac%7B%283x%2B2%29%28x-3%29%2B5%282%29%7D%7B5%28x-3%29%7D++%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5Cdfrac%7B3x%5E%7B2%7D-7x-6%2B10%7D%7B5x-15%7D++%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5Cdfrac%7B3x%5E%7B2%7D-7x%2B4%7D%7B5x-15%7D+%5C%5C++%5C%5C+Dominio%3A%5C+%5C%7BReales+-+%5C%7B3%5C%7D+%5C%7D+%5C%5C++%5C%5C+5x-15+%5Cneq+0+%5C%5C++%5C%5C+5x+%5Cneq+15+%5C%5C++%5C%5C+x+%5Cneq+3+%5C%5C++%5C%5C+Rango%3A%5C+%5C%7B+%5C+%5Ctextless+%5C+-+infinito%3B%5C++%5Cdfrac%7B11-2+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B5%7D+%5D%5C++%5B%5Cdfrac%7B11%2B2+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B5%7D%3B%5C+infinito%2B%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5C%7D "f(x)+g(x) \\ \\ \dfrac{3x+2}{5} + \dfrac{2}{x-3} \\ \\ \\ \dfrac{(3x+2)(x-3)+5(2)}{5(x-3)} \\ \\ \\ \dfrac{3x^{2}-7x-6+10}{5x-15} \\ \\ \\ \dfrac{3x^{2}-7x+4}{5x-15} \\ \\ Dominio:\ \{Reales - \{3\} \} \\ \\ 5x-15 \neq 0 \\ \\ 5x \neq 15 \\ \\ x \neq 3 \\ \\ Rango:\ \{ \ \textless \ - infinito;\ \dfrac{11-2 \sqrt{3} }{5} ]\ [\dfrac{11+2 \sqrt{3} }{5};\ infinito+\ \textgreater \ \}")
Gráficamente se ve así (ver archivo)
Ahora vamos a resolver la multiplicación de funciones
![\dfrac{3x+2}{5}\ \cdot\ \dfrac{2}{x-3} \\ \\ \\ \dfrac{6x+4}{5x-15} \\ \\ Dominio:\ \{Reales - \{3\}\} \\ \\ 5x-15 \neq 0 \\ \\ 5x \neq 15 \\ \\ x \neq 3 \\ \\ Rango:\ \ \textless \ -infinito;\ \dfrac{6}{5}\ \textgreater \ \ \ \textless \ \dfrac{6}{5}; infinito\ \textgreater \](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B3x%2B2%7D%7B5%7D%5C+%5Ccdot%5C+%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx-3%7D+%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5Cdfrac%7B6x%2B4%7D%7B5x-15%7D++%5C%5C++%5C%5C+Dominio%3A%5C+%5C%7BReales+-+%5C%7B3%5C%7D%5C%7D++%5C%5C+%5C%5C+5x-15+%5Cneq+0+%5C%5C+%5C%5C+5x+%5Cneq+15+%5C%5C+%5C%5C+x+%5Cneq+3++%5C%5C++%5C%5C+Rango%3A%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+-infinito%3B%5C++%5Cdfrac%7B6%7D%7B5%7D%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C++%5Cdfrac%7B6%7D%7B5%7D%3B+infinito%5C+%5Ctextgreater+%5C+++ "\dfrac{3x+2}{5}\ \cdot\ \dfrac{2}{x-3} \\ \\ \\ \dfrac{6x+4}{5x-15} \\ \\ Dominio:\ \{Reales - \{3\}\} \\ \\ 5x-15 \neq 0 \\ \\ 5x \neq 15 \\ \\ x \neq 3 \\ \\ Rango:\ \ \textless \ -infinito;\ \dfrac{6}{5}\ \textgreater \ \ \ \textless \ \dfrac{6}{5}; infinito\ \textgreater \")
Gráficamente se ve así (ver archivo)
Ahora amos a resolver la función compuesta FoG
![f \ o\ g = f_{(g(x))} \\ \\ \dfrac{3(\frac{2}{x-3} )+2}{5} \\ \\ \dfrac{2x}{5(x-3)} \\ \\ Dominio:\ Reales - \{3\} \\ \\ x \neq 3 \\ \\ Rango:\ \ \textless \ -infinito;\ \dfrac{2}{5} \ \textgreater \ \ \ \textless \ \dfrac{2}{5} ;\ infinito+\ \textgreater \](https://tex.z-dn.net/?f=f+%5C+o%5C+g+%3D+f_%7B%28g%28x%29%29%7D+%5C%5C++%5C%5C+%5Cdfrac%7B3%28%5Cfrac%7B2%7D%7Bx-3%7D+%29%2B2%7D%7B5%7D+%5C%5C++%5C%5C++%5Cdfrac%7B2x%7D%7B5%28x-3%29%7D++%5C%5C++%5C%5C+Dominio%3A%5C+Reales+-+%5C%7B3%5C%7D+%5C%5C++%5C%5C++x+%5Cneq+3+%5C%5C++%5C%5C+Rango%3A%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+-infinito%3B%5C++%5Cdfrac%7B2%7D%7B5%7D+%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C++%5Cdfrac%7B2%7D%7B5%7D+%3B%5C+infinito%2B%5C+%5Ctextgreater+%5C+ "f \ o\ g = f_{(g(x))} \\ \\ \dfrac{3(\frac{2}{x-3} )+2}{5} \\ \\ \dfrac{2x}{5(x-3)} \\ \\ Dominio:\ Reales - \{3\} \\ \\ x \neq 3 \\ \\ Rango:\ \ \textless \ -infinito;\ \dfrac{2}{5} \ \textgreater \ \ \ \textless \ \dfrac{2}{5} ;\ infinito+\ \textgreater \")
Gráficamente se ve así (ver archivo)
Ahora vamos a resolver la función compuesta GoF
![g \ o\ f = g_{(f(x))} \\ \\ \dfrac{2}{\frac{3x+2}{5}-3} \\ \\ \\ \dfrac{10}{3x-13} \\ \\ \\ Dominio:\ Reales - \{ \dfrac{13}{3} \} \\ \\ 3x-13 \neq 0 \\ \\ 3x \neq 13 \\ \\ x \neq \dfrac{13}{3} \\ \\Rango:\ \ \textless \ -infinito; 0\ \textgreater \ \ \ \textless \ 0; infinito+\ \textgreater \](https://tex.z-dn.net/?f=g+%5C+o%5C+f+%3D+g_%7B%28f%28x%29%29%7D++%5C%5C++%5C%5C+%5Cdfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B3x%2B2%7D%7B5%7D-3%7D++%5C%5C++%5C%5C+%5C%5C+++%5Cdfrac%7B10%7D%7B3x-13%7D++%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C+Dominio%3A%5C+Reales+-+%5C%7B+%5Cdfrac%7B13%7D%7B3%7D+%5C%7D+%5C%5C++%5C%5C+3x-13+%5Cneq+0+%5C%5C++%5C%5C+3x+%5Cneq+13+%5C%5C++%5C%5C+x+%5Cneq++%5Cdfrac%7B13%7D%7B3%7D++%5C%5C++%5C%5CRango%3A%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+-infinito%3B+0%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5C+%5C+%5Ctextless+%5C+0%3B+infinito%2B%5C+%5Ctextgreater+%5C+ "g \ o\ f = g_{(f(x))} \\ \\ \dfrac{2}{\frac{3x+2}{5}-3} \\ \\ \\ \dfrac{10}{3x-13} \\ \\ \\ Dominio:\ Reales - \{ \dfrac{13}{3} \} \\ \\ 3x-13 \neq 0 \\ \\ 3x \neq 13 \\ \\ x \neq \dfrac{13}{3} \\ \\Rango:\ \ \textless \ -infinito; 0\ \textgreater \ \ \ \textless \ 0; infinito+\ \textgreater \")
Gráficamente se ve así (ver archivo)
Espero haberte ayudado, cualquier duda coméntala.
Primero definamos el dominio y rango de cada función
Ahora vamos a resolver la suma de funciones
Gráficamente se ve así (ver archivo)
Ahora vamos a resolver la multiplicación de funciones
Gráficamente se ve así (ver archivo)
Ahora amos a resolver la función compuesta FoG
Gráficamente se ve así (ver archivo)
Ahora vamos a resolver la función compuesta GoF
Gráficamente se ve así (ver archivo)
Espero haberte ayudado, cualquier duda coméntala.
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