Question

por favor ayuda con este problema De limites de funciones trigonometricas gracias dejo el archivo adjunto

Answer 1

Como nos encontramos antes una indeterminación del tipo ''0/0'', podemos usar la regla de L' Hopital, que de manera general dice:

$\lim_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to c} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

Significa que para eliminar la indeterminación basta con derivar el numerador y el denominador:

$\lim_{ \theta \to 0} \dfrac{4sen(9 \theta)}{3 \theta} = \lim_{ \theta \to 0} \dfrac{(4sen(9 \theta))'}{(3 \theta)'} \\ \\ =\lim_{ \theta \to 0} \dfrac{4(sen(9 \theta))'}{3( \theta)'}=\lim_{ \theta \to 0} \dfrac{4cos(9 \theta) \cdot (9 \theta)'}{3}\\ \\ =\lim_{ \theta \to 0} \dfrac{4 \cdot 9cos(9 \theta)}{3} \\ \\ = \lim_{ \theta \to 0} \dfrac{36cos(9 \theta)}{3}$

Y ya podemos evaluar el límite:

$= \dfrac{ \lim_{ \theta \to 0} 36cos(9 \theta) }{ \lim_{ \theta \to 0} 3 } \\ \\ \\ =\dfrac{ 36[\lim_{ \theta \to 0}cos(9 \theta)] }{ \lim_{ \theta \to 0} 3 } \\ \\ \\ = \dfrac{36cos(9 \cdot 0)}{3} = \dfrac{36(1)}{3}= \boxed{12}$

Un saludo c: