caso distribucion de probabilidad de poisson :
Los padres preocupados porque sus hijos son “propensos a accidentes” pueden estar tranquilos, de acuerdo a un estudio realizado por el Departamento de Pediatría de la Universidad de California, San Francisco. Los niños que se lesionan dos o más veces tienden a sufrir estas lesiones durante un tiempo relativamente limitado, por lo general un año o menos. El estudio determinó que el número promedio de lesiones por año para niños en edad escolar es de dos.
Usando sus conocimientos sobre distribuciones de probabilidad discretas, presente un informe que como mínimo contenga:
1. Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Poisson. Identifíquelos
2. Probabilidad de que un niño sufra tres lesiones durante el año
3. Probabilidad de que un niño sufra más de tres lesiones durante el año
4. Probabilidad de que un niño sufra una lesión en los siguientes tres meses del año
5. Número de lesiones esperado por año y su desviación estándar. Dentro de que limites se espera entonces que caiga el número de lesiones por año.
6. Realmente, pueden estar tranquilos los padres? Sustente su opinión en los resultados obtenidos
Respuestas
Si cumple, y los requisitos son que sea una variable aleatoria discreta y que los sucesos de estudio deben ser independientes.
2. Probabilidad de que un niño sufra tres lesiones durante el año
X : numero de lesiones al año
u = 2 por año
K = 1 año o 12 meses
u : numero medio de veces que ocurre un suceso en el intervalo de tiempo establecido.
e= 2,71828 es una constante
P (X = K) = u∧K * e∧-u / k!
P (X = 3) = 2∧1 * 2,71828∧-2 / 3*2*1 = 0,045 ≈4,51%
3. Probabilidad de que un niño sufra más de tres lesiones durante el año
P ( X ≥ 3) = P (X=3 ) + P (X=4) + P(X = 5) +....... P ( X = n)
Esta probabilidad es infinita y se calcula de la forma indicada
4. Probabilidad de que un niño sufra una lesión en los siguientes tres meses del año
K = 1/4 de año
P( X = 1) = 2∧1/4 * 2,71828∧-2 / 1/4! = 0,5 * 0,1353 /0,0416 =1,62 ≈162%
5. Número de lesiones esperado por año y su desviación estándar. Dentro de que limites se espera entonces que caiga el número de lesiones por año.
Ya lo indico el problema el numero esperado es de dos a tres al año
6. Realmente, pueden estar tranquilos los padres? Sustente su opinión en los resultados obtenidos
No pueden estar tranquilos, ya que la probabilidad inmediata de sufrir lesiones, es muy alta
para el punto 3 te falto hacer una consideración mas real, me explico! para el valor de x=7 ya p(x) es 27 veces menor que el valor de p(x=4), en este punto ya se puede considerar este valor menospreciable, de esta manera se podría realizar la sumatoria hasta el valor de x=7 por lo que la respuesta no es infinito.
p(x=4) = ( e^(-L) * L^x)/x! = ( e^(-2) 2^4)/4! = ( (0,135)*16)/(4*3*2*1) = 2,16/24 = 0,09 o un 9%
p(x=5) = ( e^(-L) L^x)/x! = ( e^(-2) 2^5)/5! = ( (0,135)*32)/(5*4*3*2*1) = 4,32/120 = 0,036 o un 3,6%
p(x=6) = ( e^(-L) L^x)/x! = ( e^(-2) 2^6)/6! = ( (0,135)*64)/(6*5*4*3*2*1) = 8,64/720 = 0,012 o un 1,2%
La probabilidad total seria: 9% + 3,6% + 1,2% = 13,8%
también en el punto 4 te equivocas al ponerle el factorial a 1/4!, debes hallar la probabilidad para un año usando x = 1 y luego si dividir por 4 esta probabilidad, por lógica no puede haber una respuesta mayor al 100% como lo es la tuya! entiende que es una distribución de probabilidades, osea que al sumarlas todas hasta x= a infinito estas deben dar el 100% me explico.
para X=0 p(x)= 13,5% ya que el factorial de 0 es 1
para x=1 y x=2 p(x)= 27%
ya sabemos que para x=3 p(x)= 18% porque lo calculamos en el punto 2
sumemos los valores del punto 3 que son para x=4, x=5, x=6 porque ya dijimos que para x=7 p(x) es muy pequeño y ya es despreciable.
realizamos la suma! 13,5% + 27% + 27% + 18% + 9% + 3,6% + 1,2% = 99,3%
te das cuenta? el valor se aproxima al 100% se pierde un 0,7% con los valores de x iguales o superiores a 7. una respuesta de 164% es sencillamente absurda ponle lógica, estas diciendo que el niño se lesiona una vez y medio cada 3 meses, osea que en el año se lesiona 4 * 1,5 = 6 veces, cuando sabemos que el promedio es de 2!
saludos desde cucuta Colombia y espero haber servido a futuros estudiantes del tema.