Question

Ayudenme con este ejercicio de integrales

Answer 1

1) Centrémonos en el plano XY, las rectas y = x , x = 1, forman dos regiones 

                                $R_1=\{(x,y):1\leq x\leq y\}\\ \\ R_2=\{(x,y):y\leq x \leq 1\}$

2) en base a (1), el plano z = 0 limita a dos sólidos (uno por encima de este plano y otro por debajo). Pero más allá de eso la pregunta es en qué región hay solido ACOTADO

2.1) Es fácil ver que en $R_1$ la función $f(x,y)=xy$ está por encima del plano z = 0, es decir

$1\leq x\leq y\to y\leq xy\leq y^2 \to y\leq z\leq y^2\,,\, \text{con }y\geq 1$

Y además la función no está acotada en $R_1$

2.2) Veamos qué sucede en $R_2$. Aquí podríamos separar esta región así

$R_{2,1}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~y\leq x\}\\ \\ R_{2,2}=\{(x,y): x\ \textless \ 0~,~y\leq x\}$

En $R_{2,2}$ la función z = xy está por encima del plano z = 0, ya que tanto x, como y son negativos, además NO hay sólido acotado, ya que

             $y\leq x\to xy\geq x^2 \to z\ \textgreater \ 0\text{ y }\\ y\leq x\to y^2 \geq xy\to y^2 \geq z\\ \\ \text{como }y\text{ no est\'a acotado, entonces }z\text{ tampoco lo est\'a}$

En $R_{2,1}$ hay una parte en que el sólido está por encima de z = 0, y otra por debajo

La que está por encima es fácil de deducir
           $R_{2,1,1}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~0\leq y\leq x\}$
ya que en este caso la función z = xy tiene tanto a x como a y positivos, además $x \text{ e }y$ están acotados por ende z = xy SI está acotado.

Mientras en la otra región
               $R_{2,1,2}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~y\leq 0\leq x\}$
La función z = xy, está por debajo, por obvias razones. En este caso solamente x está acotada, mas la variable y NO lo está y por consiguiente tampoco la función z = xy.

Así la base de D se reduce a la región $R_{2,1,1}$, es decir

                   $D_{xy}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~0\leq y\leq x\}$
por ende

      $D=\{(x,y,z): 0\leq x\leq 1~,~0\leq y\leq x~,~0\leq z\leq xy\}$

==============CÁLCULO DE LA INTEGRAL==============

 $\displaystyle \iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{xy}xy^2z^2~dz~dy~dx\\ \\ \\ \iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}xy^2\times \left.\dfrac{z^3}{3}\right|_{z=0}^{z=xy}dy~dx\\ \\ \\ \iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}xy^2(xy)^3~dy~dx$


$\displaystyle \iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}x^4y^5~dy~dx\\ \\ \\ \iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1} x^4\left.\dfrac{y^6}{6}\right|_{y=0}^{y=x}~dx\\ \\ \\ \iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{18}\int_{0}^{1} x^{10}~dx\\ \\ \\ \boxed{\boxed{\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{198}}}$