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1
1) Centrémonos en el plano XY, las rectas y = x , x = 1, forman dos regiones
![R_1=\{(x,y):1\leq x\leq y\}\\ \\
R_2=\{(x,y):y\leq x \leq 1\} R_1=\{(x,y):1\leq x\leq y\}\\ \\
R_2=\{(x,y):y\leq x \leq 1\}](https://tex.z-dn.net/?f=R_1%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3A1%5Cleq+x%5Cleq+y%5C%7D%5C%5C+%5C%5C%0AR_2%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3Ay%5Cleq+x+%5Cleq+1%5C%7D)
2) en base a (1), el plano z = 0 limita a dos sólidos (uno por encima de este plano y otro por debajo). Pero más allá de eso la pregunta es en qué región hay solido ACOTADO
2.1) Es fácil ver que en
la función
está por encima del plano z = 0, es decir
![1\leq x\leq y\to y\leq xy\leq y^2 \to y\leq z\leq y^2\,,\, \text{con }y\geq 1
1\leq x\leq y\to y\leq xy\leq y^2 \to y\leq z\leq y^2\,,\, \text{con }y\geq 1](https://tex.z-dn.net/?f=1%5Cleq+x%5Cleq+y%5Cto+y%5Cleq+xy%5Cleq+y%5E2+%5Cto++y%5Cleq+z%5Cleq+y%5E2%5C%2C%2C%5C%2C+%5Ctext%7Bcon+%7Dy%5Cgeq+1+%0A)
Y además la función no está acotada en![R_1 R_1](https://tex.z-dn.net/?f=R_1)
2.2) Veamos qué sucede en
. Aquí podríamos separar esta región así
![R_{2,1}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~y\leq x\}\\ \\
R_{2,2}=\{(x,y): x\ \textless \ 0~,~y\leq x\}\\ \\ R_{2,1}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~y\leq x\}\\ \\
R_{2,2}=\{(x,y): x\ \textless \ 0~,~y\leq x\}\\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=R_%7B2%2C1%7D%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3A+0%5Cleq+x%5Cleq+1%7E%2C%7Ey%5Cleq+x%5C%7D%5C%5C+%5C%5C%0AR_%7B2%2C2%7D%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3A+x%5C+%5Ctextless+%5C+0%7E%2C%7Ey%5Cleq+x%5C%7D%5C%5C+%5C%5C)
En
la función z = xy está por encima del plano z = 0, ya que tanto x, como y son negativos, además NO hay sólido acotado, ya que
![y\leq x\to xy\geq x^2 \to z\ \textgreater \ 0\text{ y }\\
y\leq x\to y^2 \geq xy\to y^2 \geq z\\ \\
\text{como }y\text{ no est\'a acotado, entonces }z\text{ tampoco lo est\'a} y\leq x\to xy\geq x^2 \to z\ \textgreater \ 0\text{ y }\\
y\leq x\to y^2 \geq xy\to y^2 \geq z\\ \\
\text{como }y\text{ no est\'a acotado, entonces }z\text{ tampoco lo est\'a}](https://tex.z-dn.net/?f=y%5Cleq+x%5Cto+xy%5Cgeq+x%5E2+%5Cto+z%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%5Ctext%7B+y+%7D%5C%5C%0Ay%5Cleq+x%5Cto+y%5E2+%5Cgeq+xy%5Cto+y%5E2++%5Cgeq+z%5C%5C+%5C%5C+%0A%5Ctext%7Bcomo+%7Dy%5Ctext%7B+no+est%5C%27a+acotado%2C+entonces+%7Dz%5Ctext%7B+tampoco+lo+est%5C%27a%7D)
En
hay una parte en que el sólido está por encima de z = 0, y otra por debajo
La que está por encima es fácil de deducir
![R_{2,1,1}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~0\leq y\leq x\} R_{2,1,1}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~0\leq y\leq x\}](https://tex.z-dn.net/?f=R_%7B2%2C1%2C1%7D%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3A+0%5Cleq+x%5Cleq+1%7E%2C%7E0%5Cleq+y%5Cleq+x%5C%7D)
ya que en este caso la función z = xy tiene tanto a x como a y positivos, además
están acotados por ende z = xy SI está acotado.
Mientras en la otra región
![R_{2,1,2}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~y\leq 0\leq x\} R_{2,1,2}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~y\leq 0\leq x\}](https://tex.z-dn.net/?f=R_%7B2%2C1%2C2%7D%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3A+0%5Cleq+x%5Cleq+1%7E%2C%7Ey%5Cleq+0%5Cleq+x%5C%7D)
La función z = xy, está por debajo, por obvias razones. En este caso solamente x está acotada, mas la variable y NO lo está y por consiguiente tampoco la función z = xy.
Así la base de D se reduce a la región
, es decir
![D_{xy}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~0\leq y\leq x\} D_{xy}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~,~0\leq y\leq x\}](https://tex.z-dn.net/?f=D_%7Bxy%7D%3D%5C%7B%28x%2Cy%29%3A+0%5Cleq+x%5Cleq+1%7E%2C%7E0%5Cleq+y%5Cleq+x%5C%7D)
por ende
![D=\{(x,y,z): 0\leq x\leq 1~,~0\leq y\leq x~,~0\leq z\leq xy\} D=\{(x,y,z): 0\leq x\leq 1~,~0\leq y\leq x~,~0\leq z\leq xy\}](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D%5C%7B%28x%2Cy%2Cz%29%3A+0%5Cleq+x%5Cleq+1%7E%2C%7E0%5Cleq+y%5Cleq+x%7E%2C%7E0%5Cleq+z%5Cleq+xy%5C%7D)
==============CÁLCULO DE LA INTEGRAL==============
![\displaystyle
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{xy}xy^2z^2~dz~dy~dx\\ \\ \\
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}xy^2\times \left.\dfrac{z^3}{3}\right|_{z=0}^{z=xy}dy~dx\\ \\ \\
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}xy^2(xy)^3~dy~dx \displaystyle
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{xy}xy^2z^2~dz~dy~dx\\ \\ \\
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}xy^2\times \left.\dfrac{z^3}{3}\right|_{z=0}^{z=xy}dy~dx\\ \\ \\
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}xy^2(xy)^3~dy~dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%5Ciiint%5Climits_D+xy%5E2z%5E2%7Edx%7Edy%7Edz%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bxy%7Dxy%5E2z%5E2%7Edz%7Edy%7Edx%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ciiint%5Climits_D+xy%5E2z%5E2%7Edx%7Edy%7Edz%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7Dxy%5E2%5Ctimes+%5Cleft.%5Cdfrac%7Bz%5E3%7D%7B3%7D%5Cright%7C_%7Bz%3D0%7D%5E%7Bz%3Dxy%7Ddy%7Edx%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ciiint%5Climits_D+xy%5E2z%5E2%7Edx%7Edy%7Edz%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7Dxy%5E2%28xy%29%5E3%7Edy%7Edx)
![\displaystyle
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}x^4y^5~dy~dx\\ \\ \\
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1} x^4\left.\dfrac{y^6}{6}\right|_{y=0}^{y=x}~dx\\ \\ \\
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{18}\int_{0}^{1} x^{10}~dx\\ \\ \\
\boxed{\boxed{\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{198}}}
\displaystyle
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}x^4y^5~dy~dx\\ \\ \\
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1} x^4\left.\dfrac{y^6}{6}\right|_{y=0}^{y=x}~dx\\ \\ \\
\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{18}\int_{0}^{1} x^{10}~dx\\ \\ \\
\boxed{\boxed{\iiint\limits_D xy^2z^2~dx~dy~dz=\dfrac{1}{198}}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%5Ciiint%5Climits_D+xy%5E2z%5E2%7Edx%7Edy%7Edz%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7Dx%5E4y%5E5%7Edy%7Edx%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ciiint%5Climits_D+xy%5E2z%5E2%7Edx%7Edy%7Edz%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+x%5E4%5Cleft.%5Cdfrac%7By%5E6%7D%7B6%7D%5Cright%7C_%7By%3D0%7D%5E%7By%3Dx%7D%7Edx%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Ciiint%5Climits_D+xy%5E2z%5E2%7Edx%7Edy%7Edz%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B18%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D+x%5E%7B10%7D%7Edx%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7B%5Cboxed%7B%5Ciiint%5Climits_D+xy%5E2z%5E2%7Edx%7Edy%7Edz%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B198%7D%7D%7D%0A)
2) en base a (1), el plano z = 0 limita a dos sólidos (uno por encima de este plano y otro por debajo). Pero más allá de eso la pregunta es en qué región hay solido ACOTADO
2.1) Es fácil ver que en
Y además la función no está acotada en
2.2) Veamos qué sucede en
En
En
La que está por encima es fácil de deducir
ya que en este caso la función z = xy tiene tanto a x como a y positivos, además
Mientras en la otra región
La función z = xy, está por debajo, por obvias razones. En este caso solamente x está acotada, mas la variable y NO lo está y por consiguiente tampoco la función z = xy.
Así la base de D se reduce a la región
por ende
==============CÁLCULO DE LA INTEGRAL==============
CarlosMath:
Se ha recurrido a este razonamiento, ya que el integrando es un polinomio, los índices de cada integrando no inducen a polinomios racionales, es decir se ha buscado una región donde la integral no sea impropia a propósito, caso contrario o bien se hubiese obtenido que la integral es divergente o indeterminada.
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