Question

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta de la ecuación x+y+4=0

Answer 1

Para expresar la ecuación de una circunferencia, necesitamos su radio y su centro. Ademas la formula de una circunferencia es:

(x-k)²+(y-h)²=r²

Donde el centro es C(k;h)

Lo primero sera reemplazar x e y por las coordenadas de los puntos que pertenecen a la circunferencia:

1) (2-k)²+(1-h)²=r²
2) (-2-k)²+(3-h)²=r²

Podemos igualar ambas expresiónes por que amabas son iguales a r²

(2-k)²+(1-h)²= (-2-k)²+(3-h)²

Desarrollamos:

4-4k+k²+1-2h+h²= 4+4k+k²+9-6h+h²


Operando obtenemos:

1)-8k+4h=8

Para obtener otra ecuación, despejamos la ecuación de la recta:
 
y= -x-4

Como sabemos que el centro pertenece, podemos reemplazar x e y por k y h

2)h=-k-4.


Reemplazando 2) en 1)

-8k+4(-4-k)=8

-8k-16-4k=8

-12k=8+16

k= 24/-12=-2

Con lo obtenido calculamos h

h=-4-k=-4+2=-2

Es decir que el centro es (-2;-2)


Ahora con las coordenadas del centro y las de A obtenemos r

(2+2)²+(1+2)²=r²

4²+3²=r²

16+9 = r²

r²= 25

r= 5


Con lo que la circunferencia buscada responde a la formula:


C: (x+2)²+(y+2)²=25
 
Circunferencia de centro (-2;-2) y radio 5


Es un poco extenso, espero entiendas. 


Mejor Respuesta porfa.


Saludos