Question

Hallar tres números positivos x, y, z que satisfagan las condiciones dadas. El producto es 27 y la suma es mínima.

Answer 1

Respuesta:

X=3, Y=3 y Z= 3

Explicación:

Para este ejercicio es necesario aplicar derivadas parciales.

Tenemos 2 condiciones:

1-      F(x,y,z) = x·y·z =27

2-      F(x,y,z) = x+y+z  tiene que ser mínima

Por tanto, de la primera expresión despejamos una variable. En este caso se despejara z ( puede ser cualquiera) .

                                               Z = $\frac{27}{xy}$          (1) 

Sustituimos el valor de Z en en F(x,y,z) = x+y+z obteniendo una F(x,y)

F(x,y) = x+y+ 27/x·y

Procedemos a calcular las derivadas parciales de F(x,y)

                                             dF/dx = 1 – 27/x²·y        (2)

                                            dF/dy = 1-27/x·y²            (3)

Debido a que ambas deben ser mínimas por la condición pedida, ambas son igualadas a cero por tanto se pueden igualar ambas ecuaciones entre si.

                                                     1-27/x²·y  =   1-27/x·y²

Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación y aplicamos M.C.M

                                                      1-27/x²·y -1 +27/x·y² = 0

                                                        27( 1/x²·y + 27/x·y²) = 0

El M.C.M = x²·y²

                                             27[ (x+y) / (x²·y²) ]   = 0     ( 4)

Para que la ecuación (4) sea cero la única opción es que x= y  (llamaremos esto como : condición 3)

Sustituyendo en la ecuación 4 o 3 la condición 3 ( x=y)

                        0 = 1-27/x²·x   (Se iguala a cero porque debe ser mínima)

Aplicamos M.C.M y despejamos X

x³-27 / x³= 0  entonces X= 3

Conociendo que y = x entonces y= 3

Sustituyendo los valores de X e Y en la ecuación 1 tenemos que: 

                                                        Z = 27/3·3 = 3

Por tanto los valores son X=3, Y=3 y Z= 3