Question

Cada número desde 14 hasta 2012 se divide por 13 (división entera). Se suman todos los restos obtenidos (Cuál es el resultado de esa suma?

La respuestas es = 11989

Mi duda es cómo llego a esa respuesta, es decir, mediante qué fórmulas o qué pasos. Gracias

Answer 1

Cada número desde 14 hasta 2012 se divide por 13 (división entera). Se suman todos los restos obtenidos (Cuál es el resultado de esa suma?
La respuestas es = 11989
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Más que fórmulas hay que usar la lógica. 
Date cuenta de que los residuos obtenidos se irán repitiendo de manera secuencial, por ejemplo:

14 entre 13 nos da de resto 1
15 entre 13 nos da de resto 2
16 entre 13 nos da de resto 3 ... 
25 entre 13 nos da de resto 12

Es decir que se forman grupos de residuos que van desde el 1 al 12 y lo primero que hay que calcular es la suma de esos residuos que puede hacerse por progresiones aritméticas pero al ser pocos números casi mejor calcularlo de manera manual.

La suma de números desde el 1 al 12 da un total de 78

También habrá que tener en cuenta que los múltiplos de 13 no arrojarán un resto válido ya que será cero, o sea, 26, 39, 52... etc... pero sí estarán incluidos en el cociente de la división siguiente:

2012 : 13 = 154 de cociente (grupos de 13 unidades) más 10 de residuo cuya suma desde el 1 al 10 habrá que sumar después.

Multiplico ahora ese cociente por la cifra de la suma anterior de 78
154×78 = 12012 pero a este número hay que añadirle la suma de los 10 residuos citados antes desde 2003 hasta 2012 que será la secuencia 1,2, 3, ... 10 y sumarán un total de 78-(11+12) = 57 ... así que los sumamos:

12012 + 57 = 12069 y a este número hay que restarle todos los números comprendidos entre 14 y 2012 cuyo residuo sea cero, es decir, tantas unidades como el cociente que nos salió en la división primera (154) y una unidad más que corresponde al intervalo de 1 a 13 que también se ha contabilizado como una unidad más en el cociente de la división citada, o sea, hay que restar 155 unidades.

12069 - 155 = 11914 es la cifra que calculo como respuesta correcta.

Me he acercado hasta las centenas. No sé de dónde más sacar esa diferencia con la solución que propone el ejercicio pero no descarto que esa solución sea la errónea.

saludos.

Answer 2

Básicamente los restos van siendo 1, 2, 3, 4.... hasta el 12 y cada múltiplo de 13 da un resto de 0, quedando una suma de 78 en cada ciclo.

Entonces:

2012/13 = entra 154 veces el 13

13.154 = 2002 sabemos ahora que el último múltiplo de 13 antes del 2012 es el 2002

2012-2002 = 10 son los números que nos quedaría sumar después porque no quedan comprendidos dentro de los 154 ciclos

153.78 = 11934 (no se toman 154 ya que el múltiplo 13 no queda comprendido dentro del rango 14—2012 incluyendo la suma de los 12 números previos)

11934+55= 11989 (55 es la suma de 1+2+3+4+5.....+10)

Respuesta: La suma de todos los restos obtenidos de N/13 entre 14 y 2012 es 11989