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Polinomios
Definiciones Definición: se llama polinomio de variable x a la expresión algebraica que resulta de sumar 2 o más monomios de variable x, siendo del tipo: P(x)=anxn+…+a2x2+a1x+a0 Donde: - a0, a1, …, an ∈R y son los coeficientes y a0 término independiente - n es el grado del polinomio (el grado mayor de los monomios) - anxn, …, a1x, a0 son los términos del polinomio Ejemplo: P(x)=-6x5-3x2+23·x+ 2 es un polinomio de variable x, de grado 5 con coeficientes a5=-6, a4=a3=0, a2=-3, a1=23 y a0= 2 . Siendo 2 el término independiente. Observa las siguientes expresiones que no son polinomios de variable x: x + x ; xx3 1− ; x2-y+2
Otras definiciones: - polinomio de grado cero: son los números reales - polinomio nulo: es el cero 0(x)=0 - polinomio completo: es aquel donde todos los coeficientes desde el de mayor grado al término independiente son distintos de cero.
Ejemplo: P(x)=-2x3+4x2-5x+12 Valor numérico de un polinomio: resulta de sustituir una variable por un número, obteniendo el correspondiente valor numérico. Ejemplo: P(x)=x3-x2+x-5 P(1)=13-12+1-5=-4 ; P(0)=03-02+0-5=-5 Raíz de un polinomio P(x): es todo número real, a∈R, tal que su valor numérico es cero es decir P(a)=0
Ejemplo: P(x)=7x5-4x2+11 el -1 es una raíz de P(x) P(-1)=-7-4+11=0. En siguientes apartados veremos cuantas y como calcular las raíces de los polinomios. Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Página realizada por José Luis Lorente ([email protected]) 42.2. Operaciones con polinomios Suma y diferencia: se suman y restan los monomios semejantes como vimos en el apartado anterior.
Ejemplo: P(x)=2x3-5x2+3x-2 y Q(x)=6x4-5x3+6x-5 P(x)+Q(x)= 2x3-5x2+3x-2+(6x4-5x3+6x-5)=6x4-3x3-5x2+9x-7 P(x)-Q(x)=2x3-5x2+3x-2-(6x4-5x3+6x-5)=2x3-5x2+3x-2-6x4+5x3-6x+5= =-6x4+7x3-5x2-3x+3 Definición: polinomios opuestos son los que sumados el resultado es el polinomio nulo. El opuesto de P(x) se denota como –P(x).
Ejemplo: P(x)=x2-3x+5 -P(x)=-x2+3x-5 Multiplicación: la multiplicación de dos polinomios resulta de multiplicar cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo.
Ejemplo: (5x2-3x+5)·(-7x3+x+1)=-35x5+5x3+5x2+21x4-3x2-3x-35x3+5x+5= =-35x5+21x4-30x3+2x2+2x+5 Potencia de polinomios: la potencia n-esima de un polinomio P(x) se denota como (P(x))n y resulta de multiplicar P(x) n veces por si mismo: (P(x))n=P(x)· P(x)·… ·P(x) n-veces Ejemplo: P(x)=(5x2+x+1) (P(x))3=(5x2+x+1)·(5x2+x+1)·(5x2+x+1)= =125x6+75x5+90x4+31x3+18x2+3x+1 Identidades notables:-
Cuadrado de la suma de monomios: (a+b)2=a2+2ab+b2. Demostración: (a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 Ejemplo: (5x+3)2=(5x)2+2·5x·3+32=25x2+30x+9- Cuadrado de la diferencia de monomios: (a-b)2=a2-2ab+b2. Demostración: (a-b)2=(a-b)·(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2 Ejemplo: (5x-3)2=(5x)2-2·5x·3+32=25x2-30x+9- Suma por diferencia: (a+b)·(a-b)=a2-b2Demostración: (a+b)·(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2Ejemplo: (5x-3)·(5x+3)=(5x)2-32=25x2-9
Definiciones Definición: se llama polinomio de variable x a la expresión algebraica que resulta de sumar 2 o más monomios de variable x, siendo del tipo: P(x)=anxn+…+a2x2+a1x+a0 Donde: - a0, a1, …, an ∈R y son los coeficientes y a0 término independiente - n es el grado del polinomio (el grado mayor de los monomios) - anxn, …, a1x, a0 son los términos del polinomio Ejemplo: P(x)=-6x5-3x2+23·x+ 2 es un polinomio de variable x, de grado 5 con coeficientes a5=-6, a4=a3=0, a2=-3, a1=23 y a0= 2 . Siendo 2 el término independiente. Observa las siguientes expresiones que no son polinomios de variable x: x + x ; xx3 1− ; x2-y+2
Otras definiciones: - polinomio de grado cero: son los números reales - polinomio nulo: es el cero 0(x)=0 - polinomio completo: es aquel donde todos los coeficientes desde el de mayor grado al término independiente son distintos de cero.
Ejemplo: P(x)=-2x3+4x2-5x+12 Valor numérico de un polinomio: resulta de sustituir una variable por un número, obteniendo el correspondiente valor numérico. Ejemplo: P(x)=x3-x2+x-5 P(1)=13-12+1-5=-4 ; P(0)=03-02+0-5=-5 Raíz de un polinomio P(x): es todo número real, a∈R, tal que su valor numérico es cero es decir P(a)=0
Ejemplo: P(x)=7x5-4x2+11 el -1 es una raíz de P(x) P(-1)=-7-4+11=0. En siguientes apartados veremos cuantas y como calcular las raíces de los polinomios. Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Página realizada por José Luis Lorente ([email protected]) 42.2. Operaciones con polinomios Suma y diferencia: se suman y restan los monomios semejantes como vimos en el apartado anterior.
Ejemplo: P(x)=2x3-5x2+3x-2 y Q(x)=6x4-5x3+6x-5 P(x)+Q(x)= 2x3-5x2+3x-2+(6x4-5x3+6x-5)=6x4-3x3-5x2+9x-7 P(x)-Q(x)=2x3-5x2+3x-2-(6x4-5x3+6x-5)=2x3-5x2+3x-2-6x4+5x3-6x+5= =-6x4+7x3-5x2-3x+3 Definición: polinomios opuestos son los que sumados el resultado es el polinomio nulo. El opuesto de P(x) se denota como –P(x).
Ejemplo: P(x)=x2-3x+5 -P(x)=-x2+3x-5 Multiplicación: la multiplicación de dos polinomios resulta de multiplicar cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo.
Ejemplo: (5x2-3x+5)·(-7x3+x+1)=-35x5+5x3+5x2+21x4-3x2-3x-35x3+5x+5= =-35x5+21x4-30x3+2x2+2x+5 Potencia de polinomios: la potencia n-esima de un polinomio P(x) se denota como (P(x))n y resulta de multiplicar P(x) n veces por si mismo: (P(x))n=P(x)· P(x)·… ·P(x) n-veces Ejemplo: P(x)=(5x2+x+1) (P(x))3=(5x2+x+1)·(5x2+x+1)·(5x2+x+1)= =125x6+75x5+90x4+31x3+18x2+3x+1 Identidades notables:-
Cuadrado de la suma de monomios: (a+b)2=a2+2ab+b2. Demostración: (a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 Ejemplo: (5x+3)2=(5x)2+2·5x·3+32=25x2+30x+9- Cuadrado de la diferencia de monomios: (a-b)2=a2-2ab+b2. Demostración: (a-b)2=(a-b)·(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2 Ejemplo: (5x-3)2=(5x)2-2·5x·3+32=25x2-30x+9- Suma por diferencia: (a+b)·(a-b)=a2-b2Demostración: (a+b)·(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2Ejemplo: (5x-3)·(5x+3)=(5x)2-32=25x2-9
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