Question

La suma de las tres cifras de un numero es 9. El numero no varía por que se escriban sus cifras en un orden inverso, y si se le suma 27 se intercambian las sumas de las decenas y unidades. Hallar el número. R: 414
El procedimiento algebraico por favor

Answer 1

todo número entero de 3 cifras a, b y c se puede expresar como:
a*100 + b*10 + c, siendo este escrito así abc, por ejemplo, para 871 a=8, b=7, c=1.
Sabemos que la suma de sus cifras es igual a 9, entonces:
a + b + c = 9
Además sabemos que si cambiamos las centenas por las unidades el número no cambia, luego:
a = c
Así que podemos reescribir la ecuación de arriba como:
b + 2a = b + 2c = 9
Ahora, tenemos que si le sumamos 27 entonces el número de las decenas será ahora el de unidades y el que era de unidades será el de las decenas:
a*100 + b*10 + c + 27 = a*100 + c*10 + b
si la reescribimos entonces:
b*10 + c - c* 10 - b = -27 (ya que 100*a está a ambos lados lo podemos quitar de una vez, porque es una igualdad, aunque sea igual a 100*c)
Operamos:
9b - 9c = -27
también teníamos que:
b + 2c = 9, entonces:
b = 9 - 2c.
Reemplazamos en la ecuación anterior:
9*( 9 - 2c ) - 9c = -27
81 - 18c - 9c = -27
-27c = -27 - 81 (Podemos multiplicar a ambos lados por -1 y seguirá siendo una igualdad)
27c = 108
c = 4

Como ya sabemos que a = c, entonces a = c = 4.
Para encontrar a b usamos la primera ecuación:
a + b + c = 9
que se convierte en:
4 + b + 4 = 9 
8 + b = 9
b = 9 - 8 = 1

asi tenemos que a*100 + b*10 + c = 4*100 + 1*10 + 4 = 414, el número que buscabamos

Gracias y respuesta destacada ^^