Question

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial 4y^''+4y^'+17y=0, y(0)=-1, y'(0)=2, las raíces de la ecuación auxiliar y la solución al problema y corresponden a:

y=e^((-x)⁄2) (-cos⁡〖2x+3/4〗 sen2x)
r_1=(-1)/2+2i; r_2=(-1)/2-2i
r_1=(-1)/2-2i; r_2=1/2+2i
y=e^((-x)⁄2) (cos⁡〖2x-3/4〗 sen2x)

Answer 1

  DATOS :
   Para el problema de valor inicial :
      4y'' + 4y' + 17y =0   , y(0)=-1     y'(0) = 2 

  SOLUCIÓN :
      4d²(y)/dx² + 4dy/dx + 17y =0
     Es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden 
    con coeficientes constantes .
     Para una ecuacion  ay'' + by' + c=0 , adopta una solución de la forma
               Y = eⁿˣ
     reescribiendo la ecuación :
        4 d²(eⁿˣ )/dx² + 4 d(eⁿˣ)/dx + 17(eⁿˣ )=0
     Al simplificar :
       4n²eⁿˣ + 4neⁿˣ +17 eⁿˣ =0
       eⁿˣ( 4n² + 4n + 17 )=0
        4n² + 4n + 17 =0 
      al resolver la ecuación de segundo grado resulta :
      n = - 4 +- √( 4² - 4 * 4 * 17)/ 2*4
      n1 = - (1/2) + 2i
      n2 = - (1/2) - 2i   respuesta 

    Para dos raíces, complejas n1 ≠n2 , donde : n1 = α + i β  n2 = α - iβ
    La solución general toma la forma :
              αx
       y = e  ( C1* cos(βx) + C2 * sen(βx))
       y = e⁻¹/²ˣ ( C1 * cos ( 2x ) + C2 * sen( 2x)) 

       y(0) = -1 
       -1 = e⁻¹/²⁽⁰⁾ ( C1 * cos( 2*0) + C2 * sen(2*0))
        C1 = -1 

          y'(0)= 2 
        y' = -(1/2)e⁻¹/²ˣ ( -1 *cos(2x) + C2*sen(2x))+ e⁻¹/²ˣ*( 1*2*sen(2x)+     
               2*C2*cos(2x))
        2 = -(1/2)*( -1 + 0) + 1*( 0+ 2 C2*1)
        2 = (1/2) + 2* C2
        C2= 3/4 

        Y = e⁻⁽¹/²⁾ˣ ( - 1* cos(2x )  + (3/4)*sen(2x) )  respuesta .
        n1 = -(1/2) + 2i    n2 = -(1/2) - 2i