Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial 4y^''+4y^'+17y=0, y(0)=-1, y'(0)=2, las raíces de la ecuación auxiliar y la solución al problema y corresponden a:
y=e^((-x)⁄2) (-cos〖2x+3/4〗 sen2x)
r_1=(-1)/2+2i; r_2=(-1)/2-2i
r_1=(-1)/2-2i; r_2=1/2+2i
y=e^((-x)⁄2) (cos〖2x-3/4〗 sen2x)
Respuestas
Respuesta dada por:
6
DATOS :
Para el problema de valor inicial :
4y'' + 4y' + 17y =0 , y(0)=-1 y'(0) = 2
SOLUCIÓN :
4d²(y)/dx² + 4dy/dx + 17y =0
Es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden
con coeficientes constantes .
Para una ecuacion ay'' + by' + c=0 , adopta una solución de la forma
Y = eⁿˣ
reescribiendo la ecuación :
4 d²(eⁿˣ )/dx² + 4 d(eⁿˣ)/dx + 17(eⁿˣ )=0
Al simplificar :
4n²eⁿˣ + 4neⁿˣ +17 eⁿˣ =0
eⁿˣ( 4n² + 4n + 17 )=0
4n² + 4n + 17 =0
al resolver la ecuación de segundo grado resulta :
n = - 4 +- √( 4² - 4 * 4 * 17)/ 2*4
n1 = - (1/2) + 2i
n2 = - (1/2) - 2i respuesta
Para dos raíces, complejas n1 ≠n2 , donde : n1 = α + i β n2 = α - iβ
La solución general toma la forma :
αx
y = e ( C1* cos(βx) + C2 * sen(βx))
y = e⁻¹/²ˣ ( C1 * cos ( 2x ) + C2 * sen( 2x))
y(0) = -1
-1 = e⁻¹/²⁽⁰⁾ ( C1 * cos( 2*0) + C2 * sen(2*0))
C1 = -1
y'(0)= 2
y' = -(1/2)e⁻¹/²ˣ ( -1 *cos(2x) + C2*sen(2x))+ e⁻¹/²ˣ*( 1*2*sen(2x)+
2*C2*cos(2x))
2 = -(1/2)*( -1 + 0) + 1*( 0+ 2 C2*1)
2 = (1/2) + 2* C2
C2= 3/4
Y = e⁻⁽¹/²⁾ˣ ( - 1* cos(2x ) + (3/4)*sen(2x) ) respuesta .
n1 = -(1/2) + 2i n2 = -(1/2) - 2i
Para el problema de valor inicial :
4y'' + 4y' + 17y =0 , y(0)=-1 y'(0) = 2
SOLUCIÓN :
4d²(y)/dx² + 4dy/dx + 17y =0
Es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden
con coeficientes constantes .
Para una ecuacion ay'' + by' + c=0 , adopta una solución de la forma
Y = eⁿˣ
reescribiendo la ecuación :
4 d²(eⁿˣ )/dx² + 4 d(eⁿˣ)/dx + 17(eⁿˣ )=0
Al simplificar :
4n²eⁿˣ + 4neⁿˣ +17 eⁿˣ =0
eⁿˣ( 4n² + 4n + 17 )=0
4n² + 4n + 17 =0
al resolver la ecuación de segundo grado resulta :
n = - 4 +- √( 4² - 4 * 4 * 17)/ 2*4
n1 = - (1/2) + 2i
n2 = - (1/2) - 2i respuesta
Para dos raíces, complejas n1 ≠n2 , donde : n1 = α + i β n2 = α - iβ
La solución general toma la forma :
αx
y = e ( C1* cos(βx) + C2 * sen(βx))
y = e⁻¹/²ˣ ( C1 * cos ( 2x ) + C2 * sen( 2x))
y(0) = -1
-1 = e⁻¹/²⁽⁰⁾ ( C1 * cos( 2*0) + C2 * sen(2*0))
C1 = -1
y'(0)= 2
y' = -(1/2)e⁻¹/²ˣ ( -1 *cos(2x) + C2*sen(2x))+ e⁻¹/²ˣ*( 1*2*sen(2x)+
2*C2*cos(2x))
2 = -(1/2)*( -1 + 0) + 1*( 0+ 2 C2*1)
2 = (1/2) + 2* C2
C2= 3/4
Y = e⁻⁽¹/²⁾ˣ ( - 1* cos(2x ) + (3/4)*sen(2x) ) respuesta .
n1 = -(1/2) + 2i n2 = -(1/2) - 2i
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