Question

Demuestre que si n es un entero positivo cualquiera, entonces 1/3(n3 + 2n) es un numero entero

Answer 1

- Los números enteros son los números positivos, el cero y los números negativos. 
-Como dice que "n" debe ser positivo, solo reemplazaremos a "n" por números enteros positivos. Ejemplos: +5, +2, +10, +3 y +1. 

- Reemplazamos los valores:

a) Reemplazamos por 5:

1/3 . ( n . 3 + 2 . n) = 
1/3 . (5 . 3 + 2 . 5) = 
1/3 . (15 + 10) = 
1/3 . 25 = 
1/3 . 25/1 = 
1 . 25 / 3 . 1 = 
25/3 

b) Reemplazamos por 2:

1/3 . ( n . 3 + 2 . n) = 
1/3 . (2 . 3 + 2 . 2 ) = 
1/3 . ( 6 + 4) = 
1/3 . 10 =
1/3 . 10/1 = 
1 . 10 / 3 . 1 = 
10/3 

c) Reemplazamos por 10:

1/3 . ( n . 3 + 2 . n) = 
1/3 . (10 . 3 + 2 . 10) = 
1/3 . (30 + 20) = 
1/3 . 50 = 
1/3 . 50/1 = 
1 . 50 / 3 . 1 =
50/3 

d) Reemplazamos por 1:

1/3 . ( n . 3 + 2 . n) = 
1/3 . (1 . 3 + 2 . 1) = 
1/3 . (3 + 2) = 
1/3 . 5 =
1/3 . 5/1 = 
1 . 5 / 3 . 1 =
5/3 

e) Reemplazamos por 3:

1/3 . ( n . 3 + 2 . n) = 
1/3 . (3 . 3 + 2 . 3) = 
1/3 . ( 9 + 6) = 
1/3 . 15 = 
1/3 . 15/1 = 
1. 15 / 3 . 1 = 
15/3 = 5/1 = 5

- Respuesta: Si reemplazamos a "n" por un número entero positivo el resultado de la operación puede ser un número entero o no (fracción).

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Demuestre que si n es un entero positivo cualquiera entonces 1/3(n^3+2n) es un entero

Paso 1 base de inducción n=1

=1/3[(1)^3+2(1)]

=1/3 [1+2]=1

Paso 2 suponemos que la fórmula es válida para un numero natural cualquiera n=k

=1/3[k^3+2k]  hipótesis de inducción

Se establece la fórmula para n=k+1

=1/3[(k+1)^3+2(k+1)]

=1/3 [k^3+k^2+3k+1)+(2k+1)]

=1/3 [〖(k〗^3+2k)+(3k^2+3k+3)]

=1/3 [〖(k〗^3+2k)+3(k^2+k+1)]