Question

Calcula la primitiva de f(x) = x 2 cosx resuelto

Answer 1

La primitiva de una función es la anti-derivada de esa función que te están dando.

∫ x²cos(x)

se integra por partes.

u=x²
du=2xdx
dv=cos(x)dx
v=sen(x)

∫ udv=uv-∫vdu

∫(x²cos(x)dx)=x²sen(x)-∫(sen(x)2xdx

podemos sacar el 2 de la integral.

∫x²cos(x)=xsen(x)-2∫(xsen(x)dx)

ahora por lo mientras vamos a guardar la parte de la integral que dice.

∫x²cos(x)=xsen(x)-2

y nos vamos a concentrar en resolver esta parte ∫xsen(x)dx.

se resuelve por partes.

u=x
du=dx
dv=sen(x)
v=-cos(x)
∫udv=uv-∫vdu

∫xsen(x)dx=-xcos(x)-∫(-cos(x)dx)

podemos sacar el signo negativo de la integral.

∫xsen(x)dx=-xcos(x)+∫(cos(x)dx)

∫xsen(x)dx=-xcos(x)+senx.

ahora ya podemos recuperar lo que habíamos guardado y sustituír la integral que acabamos de resolver.

∫(x²cos(x)dx)=x²sen(x)-2∫(xsen(x)dx

pero

∫xsen(x)dx=-xcos(x)+senx.

entonces sustituimos.

∫(x²cos(x)dx)=x²sen(x)-2(-xcos(x)+senx)

ahora simplificamos y agregamos una constante de integración.

∫(x²cos(x)dx)=x²sen(x)+2xcos(x)-2sen(x)+c

podemos factorizar el sen(x) entonces lo hacemos.

∫(x²cos(x)dx)=sen(x)[(x²-2)]+2xcos(x)+c

como te piden primitiva deberían darte un punto para poder determinar el valor de la constante de integración, pero no nos lo dan así que se queda así.

Pero a fuerzas te debieron dar un punto.