Question

Encuentre el area maxima de un triangulo
rectangulo cuyo perimetro es 4. con multiplicadores de lagrange
mostrar todos los pasos

respuesta= max A((4/2+√2),(4/2+√2))= 4/(3+2√2)

Answer 1

Respuesta:

Amáxima = 0.6862 u²

Explicación:

Se procede a utilizar lagrange, para ello se usaran la ecuación de área y el teorema de pitagora:

1-      A = b·h/ 2 ,    donde    b = bases y h = altura

2-      c²= a² + b2²   donde : c = hipotenusa, a = cateto opuesto y b = cateto adyacente

3-      P = a + b + c ,  donde : P = perímetro , c = hipotenusa, a = cateto opuesto y b = cateto adyacente

De la ecuación (2) despejaremos a C

                                                      C =   √(a² + b²)

Aplicando la restricción de perímetro: 

                                                           a+b+ √(a² + b²) = 4

La función Lagrangeana es :

L(A) = a·b/2 + k· (a+ b + √(a² + b²)  - 4)  donde K = multiplicador.

Se realizan las derivadas parciales respecto a cada variable:

dL/da = b/2 + (1+ a/   ) · K =0

dL/ db = a/2 + ( 1 + b/  ) · K =0

dL/dk = -4 + a + b +   =0

Resolviendo el sistema 3x3 tenemos que:

a= 4-2·√2

b= 4-2√2

K= 2(-3+2√2)

Tenemos entonces que el área máxima sera: 

                  A = b·a / 2 = [(4-2·√2)· (4-2√2)]/ 2 =  4/(3+2√2) = 0.68629 u²