Question

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial 4y''+4y'+17y=0, y(0)=-1, y'(0)=2, las raíces de la ecuación auxiliar y la solución al problema y corresponden a:
y= e^-x⁄2 (-cos⁡ 2x+3/4 sen2x)
r1= -1/2+2i; r2=-1/2-2i
r1= -1/2-2i; r2=1/2+2i
y= e^-x⁄2 (cos⁡2x-3/4 sen2x)
todo el proceso son dos preguntas ?

Answer 1

SOLUCIÓN :

  La ecuación  4y'' + 4y' + 17y =0   con y(0) = - 1     y'(0)=2

  Es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden :
    4d²y/dx² + 4dy/dx + 17y =0
  La solución es de la forma :  y = eⁿˣ
    4 d²(eⁿˣ)/dx² + 4 d(eⁿˣ)/dx + 17eⁿˣ =0 

   Al simplificar se obtiene :
      eⁿˣ( 4n² + 4n + 17)=0
   Al resolver la ecuacion de segundo grado :
      n = ( -4 +-√(4² - 4*4*17)/2*4
      n₁ = -(1/2)+2i
      n₂ = -(1/2)-2i

   Para dos raíces complejas n₁≠n₂ , donde  n₁ = α+iβ  n₂=α-iβ
    La solución general toma la forma de :
              αx 
      y = e     ( C1 * cos (βx) +C2 * sen(βx))
             -₍₁/₂₎x
     y = e       ( C1 * cos (2x) + C2*sen(2x)) 

      para y(0)= -1 
              -₍1/2)*0 
     -1 = e            ( C1* cos( 2 *0) + C2 * sen (2*0) )
      C1 = -1 
     para y'(0)=2  
      C2 = 3/4 

   La respuesta es :
             -₍₁/₂₎x
      y = e         ( - 1 * cos(2x) + (3/4) * sen(2x)) 
    
     n₁ = -(1/2) + 2i      n₂ = - (1/2) - 2i