Question

Hallar las ecuaciones y el punto de interseccion de las bisectrices de los angulos interiores del triangulo cuyos lados son las rectas y=0 ; 3x-4y=0 y 4x+3y-50=0

Answer 1

Ecuaciones de las rectas: 

1.- Y=0 

2.- 3x-4y=0 
     -4y=-3x
      y=3/4x

3.- 4x+3y-50=0 
     3y=50-4x 
     y=50/3-4/3x

Lo primero que haremos será hallar los puntos de los vértices de el triangulo. 

Punto A: Se forma de la intersección de Y=(50/3)-4/3X con la recta X=0. 

Por lo que podemos calcular a A como: 
X=0 
Y=50/3= 16.67

A(0,16.67) 

Punto B: Se forma de la intersección de Y=3/4X con X=0 

B(0,0) 

Punto X: Se forma de la intersección de las rectas Y=3/4x y Y=(50/3)-4/3X

al igualar las rectas tenemos que: 

3/4x=(50/3)-4/3X

9/4x+4x=50
x(25/4)=50
x=8

y=3/4x 
y=3/4(8)
y= 6

C(8,6)

Lo segundo que haremos es encontrar las distancias AB, BC y CA. 

AB= √(0-0)²+(16,67-0)² =16,67

BC= √(0-8)²+(0-6)² = 10 

CA= √(8-0)²+(6-16,67)²= 13,33

Sabemos que la bisectriz es una recta que divide al ángulo en 2, y que en un triangulo divide el segmento de recta opuesto al mismo. 

Para hallar la ecuación de la bisectriz, vamos a centrarnos en encontrar el punto en el que esta divide al segmento de recta opuesto, de esta forma, con ese punto y el vértice del triangulo podríamos conseguir la ecuación de la recta punto-pendiente. 

Para el punto J: 

$\frac{CJ} {JB} = \frac{AC} {AB}$

$\frac{CJ} {JB} = \frac{13.33} {16.67}$

$\frac{CJ} {JB} =0.8$

podemos concluir entonces que la bisectriz divide al segmento de recta CB a una razon de r= 0,8. 

CJ=0.8 JB
(8-Jx, 6-Jy)=(Jx-0;Jy-0)(0.8) 
 
Igualando las componentes: 

8-Jx=Jx(0.8)
Jx=4.44

6-Jy=Jy(0.8)
Jy=3.33

J(4.44,3.33) 

Para calcular la ecuación de la recta de la bisectriz del vértice A, tenemos J(4.44,3.33) y A(0,16.67)

Y=mx+b 

$m= \frac  {3.33-16,67} {4.44-0}$
m=  -3.03

Y=-3.03X+b

Para encontrar a b, sustituiremos uno de los puntos que conocemos, en este caso usaremos a J(4.44,3.33) 

3.33=-3.03(4.44)+b
b= 10.12

Y=-0.33X+4.8 ----> Bisectriz del ángulo del vértice A. 

Para el punto K: 

$\frac{CK} {KA} = \frac{ BC} {BA}$

$\frac{CK} {KA} = \frac{10} {16,67}$

$\frac{CK} {KA} = 0.6$

CK=0.6 KA 

(8-Kx; 6-Ky) = 0.6 (Kx-0; Ky-16.67) 
8-Kx=0.6Kx 
Kx=5

6-Ky= Ky-16.67
Ky=11.33

K(5,11.33) 

Ahora la ecuación punto pendiente con K y B: 

Y=mX+b

$m=\frac{11,33-0} {5,11-0}$

m= 2.17

Y=2.17X+b 

Sustituyendo B(0,0) 

b=0

Yb=2.17X---> Bisectriz del ángulo del punto B. 

Para el punto L: 

$\frac {AL} {LB} = \frac {AC} {BC}$

$\frac {AL} {LB} = \frac {13.33} {10}$

$\frac {AL} {LB} = 1.33$

AL=1.33 LB 
(0-Lx,16.67-Ly)=1.33(Lx-0,Ly-0) 

Lx=0 
Ly=7,15

L(0;7.15) 

Con L y C construimos la ecuación de la bisectriz: 

Y= mx+b 

$m= \frac{0-8} {7,15-6}$

m=-6.95 

Y=-6.95X+b

sustituyendo punto C, para obtener b: 

6=-(6.95)8+b
b= 61.6


Yc=-6.95X+61.6----> Bisectriz del ángulo del vértice C. 

Para hallar el punto donde las tres bisectrices se interceptan, basta con igualar las ecuaciones de 2 de las rectas. 

Bisectriz B: Y=2.17X
Bisectriz A: Y=-0.33X+4.8

igualando: 

-0.33X+4.8 = 2.17X 

X=1.92

Y= 2.17(1.92)
Y= 4.16
El punto de intersección de las bisectrices del triangulo es: (1.92,4.16)