Question

Una caja rectangular debe tener una base cuadrada y un volumen de 6 metros cúbicos. El material de la base cuesta $1200 el metro cuadrado, el material de los lados cuesta $800 el metro cuadrado y el material de la tapa cuesta $1500 el metro cuadrado. Si x es la longitud del lado de la base, encuentro una función de x que dé el costo de construcción de la caja.

Answer 1

Si la base es cuadrada, eso implica que el área será el lado al cuadrado.

$A_{base}= x^{2}$

Como el lado es ''x'', se puede escribir así. Para obtener el costo de la base habrá que multiplicar el área de la base por 1200 que es lo que cuesta el metro cuadrado.

$C_{1}=1200 x^{2}$

Para los lados, el área será:

$A_{lat}=4xb$

Donde ''b'' es la altura del parelelepípedo. Para obtener el costo lateral así mismo se multiplica por 800 y luego por 4, debido a que son cuatro lados:

$C_{2}=4 \cdot 800bx \\ \\ C_{2}=3200bx$

Para deshacernos de ''b'', recurrimos al volumen que es dato del problema. Sabemos que éste vale 6 m³, y que podemos escribirlo así:

$V= x^{2}b \\ \\ 6= x^{2} b \ \overrightarrow \ \ b= \dfrac{6}{ x^{2} }$

Reemplazamos esto en la expresión de C₂:

$C_{2}=3200\left(\ \dfrac{6}{ \not{x}^{2} }\right) \not{x} \\ \\ C_{2}= \dfrac{19200}{x}$

Por otro lado, el área de la tapa será x², que también habremos de multiplicar por su precio por metro cuadrado:

$C_{3}=1500 x^{2}$

Finalmente para obtener la función costo basta con sumar cada uno de los costos de las partes:

$C(x)= C_{1} + C_{2} + C_{3} \\ \\ C(x)=1200 x^{2} + \dfrac{19200}{x}+1500 x^{2} \\ \\ \boxed{C(x)=2700 x^{2} + \dfrac{19200}{x}}$

Un saludo =)