Actividad 1.
Si tenemos una muestra de 5000 núcleos radiactivos cuyo periodo de desintegración es de 3600 segundos. Averiguar:
i) ¿Cuántos núcleos se habrán desintegrado al cabo de 30 minutos?
Actividad 2: Tenemos una población de 50000 núcleos radiactivos de Polonio 218. Se sabe que su constante desintegración es = 0,0040 s-1. Averiguar:
i) ¿Qué significado tiene el número 0,0040 s-1?
ii) ¿Cuántos núcleos de Polonio 218 quedarán al cabo de 24 horas?
iii) ¿Cuánto tiempo debería pasar para que la población inicial se redujera a la mitad?
Respuestas
Respuesta dada por:
5
Actividad 1)
Los datos son:
![N_{0}=5000 \\ \\ T_{1/2}=3600 \ [s] N_{0}=5000 \\ \\ T_{1/2}=3600 \ [s]](https://tex.z-dn.net/?f=+N_%7B0%7D%3D5000+%5C%5C++%5C%5C++T_%7B1%2F2%7D%3D3600+%5C+%5Bs%5D++)
Y nos solicitan los núcleos desintegrados al cabo de 30 minutos. Podemos encontrar la constante de decaimiento:
![\lambda= \dfrac{ln(2)}{ T_{1/2} } \\ \\ \lambda= \dfrac{ln(2)}{3600} \\ \\ \lambda=1.9 \cdot 10^{-4} \ [ s^{-1}] \lambda= \dfrac{ln(2)}{ T_{1/2} } \\ \\ \lambda= \dfrac{ln(2)}{3600} \\ \\ \lambda=1.9 \cdot 10^{-4} \ [ s^{-1}]](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clambda%3D+%5Cdfrac%7Bln%282%29%7D%7B+T_%7B1%2F2%7D+%7D++%5C%5C++%5C%5C++%5Clambda%3D+%5Cdfrac%7Bln%282%29%7D%7B3600%7D++%5C%5C++%5C%5C++%5Clambda%3D1.9+%5Ccdot+10%5E%7B-4%7D+%5C+%5B+s%5E%7B-1%7D%5D++)
Por otro lado, el modelo matemático que representa el decaimiento de los núcleos en función del tiempo es:
![N(t)= N_{0} e^{- \lambda \cdot t} N(t)= N_{0} e^{- \lambda \cdot t}](https://tex.z-dn.net/?f=N%28t%29%3D+N_%7B0%7D+e%5E%7B-+%5Clambda+%5Ccdot+t%7D++)
Reemplazamos lo que conocemos:
![N(t)= 5000e^{(-1.9 \cdot 10^{-4})t } N(t)= 5000e^{(-1.9 \cdot 10^{-4})t }](https://tex.z-dn.net/?f=N%28t%29%3D+5000e%5E%7B%28-1.9+%5Ccdot+10%5E%7B-4%7D%29t+%7D++)
Y solo es cuestión de evaluar la función en t = 30 minutos. Para ellos llevamos ese valor a segundos:
![30 \ [min] \cdot \dfrac{60 \ [s]}{1 \ [min]} =1800 \ [s] \\ \\ N(1800)=5000 e^{(-1.4 \cdot 10^{-4})(1800) } \\ \\ N(1800)=3552 30 \ [min] \cdot \dfrac{60 \ [s]}{1 \ [min]} =1800 \ [s] \\ \\ N(1800)=5000 e^{(-1.4 \cdot 10^{-4})(1800) } \\ \\ N(1800)=3552](https://tex.z-dn.net/?f=30+%5C+%5Bmin%5D+%5Ccdot+%5Cdfrac%7B60+%5C+%5Bs%5D%7D%7B1+%5C+%5Bmin%5D%7D+%3D1800+%5C+%5Bs%5D+%5C%5C++%5C%5C+N%281800%29%3D5000+e%5E%7B%28-1.4+%5Ccdot+10%5E%7B-4%7D%29%281800%29++%7D++%5C%5C++%5C%5C+N%281800%29%3D3552)
Esa cantidad de núcleos es la que aún falta por desintegrarse. Pero el problema nos pregunta por la cantidad desintegrada, así que:
![N_{0}-N(1800)=5000-3552= \boxed{1448} N_{0}-N(1800)=5000-3552= \boxed{1448}](https://tex.z-dn.net/?f=+N_%7B0%7D-N%281800%29%3D5000-3552%3D+%5Cboxed%7B1448%7D+)
Actividad 2)
Esta vez los datos son:
![N_{0}=50000 \\ \\ \lambda =0.004 \ [ s^{-1}] N_{0}=50000 \\ \\ \lambda =0.004 \ [ s^{-1}]](https://tex.z-dn.net/?f=+N_%7B0%7D%3D50000+%5C%5C++%5C%5C++%5Clambda+%3D0.004+%5C+%5B+s%5E%7B-1%7D%5D++)
i) ¿Qué significado tiene el número 0,0040 s⁻¹?
Representa la constante de decaimiento, y mientras más alta sea con mayor rapidez se desintegran los núcleos radioactivos.
ii) ¿Cuántos núcleos de Polonio 218 quedarán al cabo de 24 horas?
Como la constante está en s⁻¹, llevamos las 24 horas a segundos:
![24 \ [h] \cdot \dfrac{3600 \ [s]}{1 \ [h]} =86400 \ [s] 24 \ [h] \cdot \dfrac{3600 \ [s]}{1 \ [h]} =86400 \ [s]](https://tex.z-dn.net/?f=24+%5C+%5Bh%5D+%5Ccdot+%5Cdfrac%7B3600+%5C+%5Bs%5D%7D%7B1+%5C+%5Bh%5D%7D+%3D86400+%5C+%5Bs%5D)
Y utilizamos la expresión que modela la inestabilidad de los núcleos:
![N(t)= N_{0} e^{- \lambda t} N(t)= N_{0} e^{- \lambda t}](https://tex.z-dn.net/?f=N%28t%29%3D+N_%7B0%7D+e%5E%7B-+%5Clambda+t%7D++)
![N(t)=50000 e^{-0.004t} N(t)=50000 e^{-0.004t}](https://tex.z-dn.net/?f=N%28t%29%3D50000+e%5E%7B-0.004t%7D+)
Evaluamos a los 86400 segundos:
![N(86400)=50000 e^{(-0.004)(86400)} \\ \\ N(86400) \approx 0 N(86400)=50000 e^{(-0.004)(86400)} \\ \\ N(86400) \approx 0](https://tex.z-dn.net/?f=N%2886400%29%3D50000+e%5E%7B%28-0.004%29%2886400%29%7D++%5C%5C++%5C%5C+N%2886400%29+%5Capprox+0)
Se observa que al cabo de 24 horas quedará una cantidad ínfima de núcleos radioactivos, prácticamente cero.
iii) ¿Cuánto tiempo debería pasar para que la población inicial se redujera a la mitad?
Debemos usar la expresión para la ''semivida'':
![T_{1/2}= \dfrac{ln(2)}{ \lambda}= \dfrac{ln(2)}{0.004} \\ \\ \boxed{T_{1/2}=173.2 \ [s]} T_{1/2}= \dfrac{ln(2)}{ \lambda}= \dfrac{ln(2)}{0.004} \\ \\ \boxed{T_{1/2}=173.2 \ [s]}](https://tex.z-dn.net/?f=T_%7B1%2F2%7D%3D+%5Cdfrac%7Bln%282%29%7D%7B+%5Clambda%7D%3D+%5Cdfrac%7Bln%282%29%7D%7B0.004%7D++++%5C%5C++%5C%5C++%5Cboxed%7BT_%7B1%2F2%7D%3D173.2+%5C+%5Bs%5D%7D+)
Espero que te sirva c:
Los datos son:
Y nos solicitan los núcleos desintegrados al cabo de 30 minutos. Podemos encontrar la constante de decaimiento:
Por otro lado, el modelo matemático que representa el decaimiento de los núcleos en función del tiempo es:
Reemplazamos lo que conocemos:
Y solo es cuestión de evaluar la función en t = 30 minutos. Para ellos llevamos ese valor a segundos:
Esa cantidad de núcleos es la que aún falta por desintegrarse. Pero el problema nos pregunta por la cantidad desintegrada, así que:
Actividad 2)
Esta vez los datos son:
i) ¿Qué significado tiene el número 0,0040 s⁻¹?
Representa la constante de decaimiento, y mientras más alta sea con mayor rapidez se desintegran los núcleos radioactivos.
ii) ¿Cuántos núcleos de Polonio 218 quedarán al cabo de 24 horas?
Como la constante está en s⁻¹, llevamos las 24 horas a segundos:
Y utilizamos la expresión que modela la inestabilidad de los núcleos:
Evaluamos a los 86400 segundos:
Se observa que al cabo de 24 horas quedará una cantidad ínfima de núcleos radioactivos, prácticamente cero.
iii) ¿Cuánto tiempo debería pasar para que la población inicial se redujera a la mitad?
Debemos usar la expresión para la ''semivida'':
Espero que te sirva c:
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