Question

Actividad 1.

Si tenemos una muestra de 5000 núcleos radiactivos cuyo periodo de desintegración es de 3600 segundos. Averiguar:

i) ¿Cuántos núcleos se habrán desintegrado al cabo de 30 minutos?

Actividad 2: Tenemos una población de 50000 núcleos radiactivos de Polonio 218. Se sabe que su constante desintegración es  = 0,0040 s-1. Averiguar:

i) ¿Qué significado tiene el número 0,0040 s-1?

ii) ¿Cuántos núcleos de Polonio 218 quedarán al cabo de 24 horas?

iii) ¿Cuánto tiempo debería pasar para que la población inicial se redujera a la mitad?

Answer 1

Actividad 1) 

Los datos son:

$N_{0}=5000 \\ \\ T_{1/2}=3600 \ [s]$

Y nos solicitan los núcleos desintegrados al cabo de 30 minutos. Podemos encontrar la constante de decaimiento:

$\lambda= \dfrac{ln(2)}{ T_{1/2} } \\ \\ \lambda= \dfrac{ln(2)}{3600} \\ \\ \lambda=1.9 \cdot 10^{-4} \ [ s^{-1}]$

Por otro lado, el modelo matemático que representa el decaimiento de los núcleos en función del tiempo es:

$N(t)= N_{0} e^{- \lambda \cdot t}$

Reemplazamos lo que conocemos:

$N(t)= 5000e^{(-1.9 \cdot 10^{-4})t }$

Y solo es cuestión de evaluar la función en t = 30 minutos. Para ellos llevamos ese valor a segundos:

$30 \ [min] \cdot \dfrac{60 \ [s]}{1 \ [min]} =1800 \ [s] \\ \\ N(1800)=5000 e^{(-1.4 \cdot 10^{-4})(1800) } \\ \\ N(1800)=3552$

Esa cantidad de núcleos es la que aún falta por desintegrarse. Pero el problema nos pregunta por la cantidad desintegrada, así que:

$N_{0}-N(1800)=5000-3552= \boxed{1448}$

Actividad 2)

Esta vez los datos son:

$N_{0}=50000 \\ \\ \lambda =0.004 \ [ s^{-1}]$

i) ¿Qué significado tiene el número 0,0040 s⁻¹?

Representa la constante de decaimiento, y mientras más alta sea con mayor rapidez se desintegran los núcleos radioactivos.

ii) ¿Cuántos núcleos de Polonio 218 quedarán al cabo de 24 horas?

Como la constante está en s⁻¹, llevamos las 24 horas a segundos:

$24 \ [h] \cdot \dfrac{3600 \ [s]}{1 \ [h]} =86400 \ [s]$

Y utilizamos la expresión que modela la inestabilidad de los núcleos:

$N(t)= N_{0} e^{- \lambda t}$

$N(t)=50000 e^{-0.004t}$

Evaluamos a los 86400 segundos:

$N(86400)=50000 e^{(-0.004)(86400)} \\ \\ N(86400) \approx 0$

Se observa que al cabo de 24 horas quedará una cantidad ínfima de núcleos radioactivos, prácticamente cero.

iii) ¿Cuánto tiempo debería pasar para que la población inicial se redujera a la mitad?

Debemos usar la expresión para la ''semivida'':

$T_{1/2}= \dfrac{ln(2)}{ \lambda}= \dfrac{ln(2)}{0.004} \\ \\ \boxed{T_{1/2}=173.2 \ [s]}$

Espero que te sirva c: