Question

en una division el cociente es 17 el divisor es 23 y el residuo es 8 calcula el dividendo

Answer 1

DLuego: A = ad, B = bd y C =cd
Se concluye: A + B + C= (a + b + c)d
Lo anterior se puede reescribir de la forma siguiente: Sí dï A, dï B, dï C entonces dï (A + B + C).  
8.5.4 Teorema. Todo entero que es divisor de otro es también divisor de los múltiplos de ese otro.  
Ejemplo 10.
Como 2 divide a 6, luego 2 dividirá a 4x6 = 24.
En efecto: 24 = 6 + 6 + 6 + 6.
Ahora bien: 2 divide a 6, luego dividirá a 4 veces 6, es decir, a 24 utilizando el teorema 2.2.2.
Generalizando, si d|A entonces d|nAcon nZ.  
8.5.5 Teorema. Todo entero que es divisor de otros dos, es divisor de su diferencia.  
Ejemplo 11.
Sea 3 que divide a 27 y a 18. Se tiene: 27 = 9 veces 3 y 18 = 6 veces 3. Restando ordenadamente tenemos: 27 - 18 = (9 - 6) veces 3. Luego 9 = 3 veces 3.
Generalizando, si d es divisor de A y B tal que a y b son sus cocientes respectivos, entonces: A = ad y B = bd. Restando ordenadamente se tiene: A -B = (a -b)d.
Lo anterior se puede reescribir en la forma siguiente:
Sí d|A y d|B, luego d|(A - B).
8.5.6 Teorema. Todo entero que divide a otros dos, divide al residuo de la división de éstos.  
Ejemplo 12.
Sea 7 que divide a un dividendo 49 y a un divisor 35. Como el residuo de dividir 49 entre 35 es 14, luego 7 divide a 14.
Generalizando este resultado se tiene:
Sea la división de A entre B con cociente q y residuo r y sea d un entero que es divisor de A y de B, es decir: A = Bq + r con 0 r IBI. Luego A = Bq + r, por el algoritmo de la división. Entonces, r = A - Bq. Como d divide a B, dividirá a Bq. Si divide a A y Bq divide también a su diferencia A - Bq. Luego d divide a r.  
8.5.7 Teorema. Si dos enteros divididos por un tercero dan residuos iguales, la diferencia de estos dos números es divisible por el tercero.
Demostración
Sean a y b dos números que divididos por d dan residuo r y cocientes q y q´ respectivamente, o sea:
a = dq + r y b = dq´+ r.
Restando ordenadamente se tiene a - b = d(q - q´). Luego d divide a la diferencia entre a y b.
Este teorema tiene gran importancia cuando se estudia una teoría llamada teoría de congruencias.
El recíproco de este teorema también se cumple, es decir: Si la diferencia de dos números es divisible por un tercero entonces estos números divididos por el tercero dan residuos iguales.  
Ejemplo 13.
Usando el algoritmo de la división, demuestre que cada entero impar es de la forma 4k+1 o 4k+3 con kZ
Cualquier entero al ser dividido por cuatro deja residuo 0 o 1 o 2 o 3. Es decir, todo entero es de una de estas formas: 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3.
De lo anterior se tiene que cualquier número impar es de la forma: 4k+1 o 4k+3.  
Ejemplo 14.  
Usando el algoritmo de la división, demuestre que todo número entero se puede escribir en una de las formas 3s, 3s+1, 3s+2.
Sea n un entero cualquiera. Luego al ser dividido por 3 se obtiene residuo 0 o 1 o 2. Entonces se cumple alguno de los tres casos:
n = 3sn = 3s+1    donde s es el cociente entero de dividir n por 3. n = 3s+2  
Ejemplo 15.