Question

Resolver:

${x} = \sqrt[4]{75 + \sqrt[]{30 + \sqrt[]{30 + \sqrt{30 + ...... \infty } } } }$

Hallar:

${x}^{3} + 12$

Answer 1

¡Hola ^^!

Resolver:

${x} = \sqrt[4]{75 + \sqrt[]{30 + \sqrt[]{30 + \sqrt{30 + ...... \infty } } } }$

Hallar:
${x}^{3} + 12$

I. Lo primero que haremos será igualar la raíz infinita a una variable:

$\sqrt{30 + \sqrt{30 + \sqrt{30 + .... \infty } } } = y$

Ahora reemplazamos:
$Si: \\ \sqrt[]{30 + \sqrt{30 + ... \infty } } = y \\ \sqrt{30 + y} = y$

Resolvemos:
$\sqrt{30 + y} = y \\ 30 + y = {y}^{2} \\ 0 = {y}^{2} - y - 30 \\ 0 = (y - 6)(y + 5) \\ \\ y - 6 = 0 \\ \boxed{y = 6 }\\ \\ y + 5 = 0 \\ y = - 5$

Tomamos el primer valor pues el resultado de una raíz es positivo.

II. Reemplazamos el valor de "y" en "x" .

$x = \sqrt[4]{75 + \sqrt[]{30 + \sqrt{30 + \sqrt{30... \infty } } } } \\ \\ x = \sqrt[4]{75 + y} \\ x = \sqrt[4]{75 + 6} \\ x = \sqrt[4]{81} \\ \boxed{x = 3}$

III. Nos piden hallar:

${x}^{3} + 12 \\ {3}^{3} + 12 \\ 27 + 12 \\ \boxed{39}$

Espero que te sirva de ayuda ^u^

Saludos:
Margareth ✌️