Question

Determinar la derivada de las funciones racionales utilizando la definición de la derivada por limites
f(x) 5x/x+3
f(x) 4/x2-1
f(x) x-3/x+1

Answer 1

f(x) 5x/x+3 --> (5·(x+3) - 1·5x) / (x+3)^2 --> 3/(x+3)^2

f(x) 4/x2-1 --> 8/(x2-1)^2

f(x) x-3/x+1 --> -2/(x+1)^2

Answer 2

La derivada de una función nos da el incremento instantáneo de la misma, usando derivadas por limites obtenemos que:

• $(5x/(x+3))' = \frac{15}{(x+3)^{2}}$

• $(4/(x^{2}-1))' = \frac{-8x}{(x^{2}-1)^{2}}}$

• $((x-3)/(x+1))'=\frac{4}{(x+1)^{2}}}$

La derivada de una función: evaluado en un punto nos da la ecuación de la recta tangente a la gráfica que forma dicha función y que pasa por dicho punto. También es el incremento instantáneo de la función

Sea f(x) una función entonces su derivada f'(x) esta dado por la ecuación:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Procedemos al calculo de cada derivada por definición:

• f(x) = 5x/x+3

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{5*(x+h)}{x + h + 3} - \frac{5x}{x+3}}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{5*(x+h)*(x+3) - 5x*(x + h + 3)}{(x + h + 3)*(x+3)}}{h}$

$=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{5x^{2}+15x+5hx+15h-5x^{2}- 5xh-15x}{(x + h + 3)*(x+3)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{15h}{h*(x + h + 3)*(x+3)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{15}{(x + h + 3)*(x+3)} = \frac{15}{(x + 0 + 3)*(x+3)} = \frac{15}{(x+3)*(x+3)} = \frac{15}{(x+3)^{2}}$

• f(x) 4/x²-1

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{4}{(x+h)^{2}-1} - \frac{4}{x^{2}-1}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{4*(x^{2}-1)-4*((x+h)^{2}-1)}{((x+h)^{2}-1)*(x^{2}-1)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{4x^{2}-4 - 4*x^{2}-8xh-4h^{2}+4}{((x+h)^{2}-1)*(x^{2}-1)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-8xh-4h^{2}}{((x+h)^{2}-1)*(x^{2}-1)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{h*(-8x-4h)}{h*((x+h)^{2}-1)*(x^{2}-1)}} = \lim_{h \to 0} \frac{(-8x-4h)}{((x+h)^{2}-1)*(x^{2}-1)}} = \frac{(-8x-4*0)}{((x+0)^{2}-1)*(x^{2}-1)}}$

$= \frac{-8x}{(x^{2}-1)^{2}}}$

• f(x) = (x-3)/(x + 1)

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h -3}{x + h + 1} - \frac{x-3}{x+1}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x+h-3)*(x+1)-(x+h+1)*(x-3)}{(x+h+1)*(x+1)}}{h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}+x+hx+h-3x-3-x^{2}+3x-hx+3h-x+3}{(x+h+1)*(x+1)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h}{h*(x+h+1)*(x+1)}}$

$\lim_{h \to 0} \frac{4}{(x+h+1)*(x+1)}} = \frac{4}{(x+0+1)*(x+1)}} =  \frac{4}{(x+1)^{2}}}$

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