Question

Para una empresa manufacturera, la función que determina la oferta de su producto estrella en miles de litros, tiene un comportamiento exponencial descrito por P(t)=e^(0.1t), donde t está medido en días. Según lo anterior, hallar el volumen promedio de producción de este artículo en los primeros 14 días de operación de la empresa.

Answer 1

Sabemos que el valor promedio de una función en un intervalo [a, b] es igual a:


$f prom = \frac{1}{b-a}\int _a^bf\:\left(x\right)dx$


Esto lo comprobamos con el segundo caso del Teorema del Valor Medio  donde queda demostrado que existe algún c tal que $f (c) = \frac{1}{b-a}\int _a^bf\:\left(x\right)dx$

Aplicándolo en la  función dada por el problema:


Resolvemos la integral:


$\int \:e^{0.1x}dx$


Aplicamos la intregración por sustitución u = 0.1x


$=\int \:e^u\frac{1}{0.1}du$


$=\frac{1}{0.1}\cdot \int \:e^udu$


$=\frac{1}{0.1}e^u$


Sustituimos U


$=\frac{1}{0.1}e^{0.1x}$

$=10e^{0.1x}$

$=10e^{0.1x}+C$


Calculamos los límites:

$\int _0^{14}e^{0.1x}dx:\quad \int _0^{14}e^{0.1x}dx=40.552 -10$

$=30.552$

$=\frac{1}{14-0}\cdot \:30.552$

$=2.18229$