Question

una llave de agua tarda 2hrs más que otra en llenar un garrafón. cuando se abren las dos juntas, el garrafón se llena en 1hra y 20min. ¿cuál es el tiempo que tardaría el garrafón en ser llenado utilizando una sola llave por vez? , .

Answer 1

¡Buenas!

Llamemos a ambos caños, A y B.

El caño A llena en $x$ horas un garrafón.

El caño B llena en $x+2$ horas el mismo garrafón.

Con esta información podemos deducir lo siguiente.

El caño A en una hora llena $\dfrac{1}{x}$

El caño B en una hora llena $\dfrac{1}{x+2}$

Ahora si abrimos ambos, en una hora llena lo siguiente.

$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{x+2} \\ \\ \\ \dfrac{2x+2}{x(x+2)} \\ \\ \\ \dfrac{2(x+1)}{x(x+2)}$


Con los dos caños abiertos en una hora llenará $\dfrac{2(x+1)}{x(x+2)}$

Para saber cuanto tiempo tardará en llenarse el tanque multiplicamos por su inversa.


La inversa de $\dfrac{2(x+1)}{x(x+2)}$ es $\dfrac{x(x+2)}{2(x+1)}$.

El problema nos dice que el tiempo será de 1 hora y 20 minutos, convirtiendo esto a la unidad de hora es.

$1\ hora+20\ minutos= 1\ hora + \dfrac{1}{3}\ hora =\dfrac{4}{3}\ horas$

Entonces podemos decir lo siguiente

$\dfrac{x(x+2)}{2(x+1)} = \dfrac{4}{3} \\ \\ \\ 3(x)(x+2)=4(2)(x+1) \\ \\ 3(x^{2} +2x)=8(x+1) \\ \\ 3x^{2}+6x=8x+8 \\ \\ 3x^{2}-2x-8=0$

Nos queda la siguiente fórmula cuadrática, utilizaremos la ecuación general para poder hallarla.

 - Fórmula cuadrática

$ax^{2}+bx+c \\ \\ \\ x=\dfrac{- \ b \pm \sqrt{b^{2} -4ac}}{2a} \\ \\ \\ x=\dfrac{- \ (-2) \pm \sqrt{(-2)^{2} -4(3)(-8)}}{2(3)} \\ \\ \\ x_{1}=2 \\ \\ x_{2}= - \frac{4}{3}$

Obviamente $x$ no puede ser un número negativo, ya que hablamos de tiempo, entonces el único valor que puede tomar $x$ es 2.

$x=2$

Volviendo a lo de antes.

El caño A llena en $2$ horas un garrafón.

El caño B llena en $2+2$ horas el mismo garrafón.

El caño B llena en $4$ horas el mismo garrafón.

RESPUESTA

$\boxed{Utilizando\ el\ ca\~{n}o\ A = 2\ horas} \\ \\ \boxed{Utilizando\ el\ ca\~{n}o\ B = 4\ horas}$