Question

Explica con tus palabras como desarrollarlas los cocientes notables que se muestran a continuación

Answer 1

Cuando hablamos de cocientes notables en matemáticas, nos referimos a las divisiones entre polinomios que resultan exactas.

En el caso de los ejercicios planteados, debemos tener en consideración algunas propiedades de los polinomios, especialmente el producto de la suma de la diferencia de un binomio.

Esta propiedad implica la multiplicación de una suma por la diferencia de los dos sumandos. Es decir, dos valores que se suman, por los mismos valores que se restan.

El resultado es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda cantidad.

Conociendo esta propiedad, podemos empezar a resolver:

1. $\frac{1 - a^{2}b^{4}c^{8}}{1 - ab^{2}c^{4}}$ Observamos el polinomio ubicado en el numerador de la fracción: Haciendo uso de la propiedad del producto de la suma de una diferencia de un binomio, podemos factorizarlo de la siguiente manera, tomando en consideración que el ( 1 ) es un factor y el ( a²b⁴c⁸ ) es otro factor:

$\frac {1 - a^{2}b^{4}c^{8}}{1 - ab^{2}c^{4}} = \frac{(1 + ab^{2}c^{4})(1 - ab^{2}c^{4})}{1 - ab^{2}c^{4}}$

Una vez realizado este paso, podemos observar que el polinomio ubicado en el denominador, coincide exactamente con uno de los factores del numerador, es perfectamente divisible, por tanto, el resultado del cociente notable es el siguiente:

$\frac{(1 + ab^{2}c^{4})(1 - ab^{2}c^{4})}{1 - ab^{2}c^{4}} = (1 + ab^{2}c^{4})$

Ahora seguiremos exactamente el mismo procedimiento para el siguiente ejercicio:

2. $\frac{(a+x)^{2} - y^{2}}{(a + x)-y}$ En este caso el (a+x)² es un factor, y la y² es otro factor. Entonces...

$\frac {(a + x)^{2}-y^{2}}{(a+x)-y} = \frac {[(a+x)+y].[(a+x)-y]}{(a+x)-y}$

Y luego... $\frac {[(a+x)+y].[(a+x)-y]}{(a+x)-y} = (a+x)+y$

Sin embargo, en el tercer ejercicio se nos presenta un caso ligeramente distinto....

3. $\frac{n^{6} + 1^{3}}{n^{2}+1}$

En este caso, realizaremos la división de polinomios de igual forma que en la imagen adjunta, recordando que para que n² "llegue a ser" n⁶, necesitamos multiplicar n² × n⁴, ya que, según las propiedades de la potenciación "la multiplicación de monomios con igual base es igual a la misma base, elevado a la suma de los exponentes"

Además, tendremos en consideración que según la teoría de la división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el residuo, por tanto...

$\frac {n^{6}+1^{3}}{n^{2}+1} = \frac {(n^{2} + 1).n^{4} + (1 - n^{4})}{n^{2} + 1}$

Factorizando mediante el producto de la suma de la diferencia de un binomio, tenemos que:

$\frac {(n^{2} + 1).n^{4} + (1 - n^{4})}{n^{2} + 1} = \frac {[(n^{2} + 1).n^{4}] + [(1 - n^{2}).(1+n^{2})]}{n^{2} + 1}$

Observamos que el ambos términos de numerador, hay un factor común que es (n² + 1), por tanto...

$\frac {[(n^{2} + 1).n^{4}] + [(1 - n^{2}).(1+n^{2})]}{n^{2} + 1} = \frac {(n^{2}+1).[n^{4} + (1-n^{2})]}{n^{2}+1}$

Y notamos que al repetirse un mismo factor tanto en el numerador, como en el denominador, podemos factorizar aún más, llegando al siguiente resultado:

$\frac {(n^{2}+1).[n^{4} + (1-n^{2})]}{n^{2}+1} = n^{4} + (n^{2} - 1)$

Espero que sea de ayuda!

Answer 2

Respuesta:a) 1 -a^2 b^4 c^8       1 - a b^2 c^4

   -------------------   =

   1 -a b^2 c^4

Primeramente se divide el coeficiente

1/1 = 1

 En cada literal los exponentes se restan

a^2-1 = a       b^4-2 = b^2       c^8-4 =c^4

b) (a+ x)^2 - y^2

  ------------------  =   (a + x) - y

   (a+x) - y

En la división de potencias los exponentes se restan

(a + x )^2-1 = (a + x)             y^2-1 = y

c) n^6 + 1^3

   -------------   = n^4 + 1^2

    n^2 + 1

En la división de potencias los exponentes se restan

n^6-2 = n^4             1^3-1 = 1^2

Explicación paso a paso:espero que te ayude