Question

ECUACIONES DIFERENCIALES
Cuando una ecuación diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 no es exacta, porque ∂M/∂y≠∂N/∂x, se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado μ(x,y) , llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de y mediante la fórmula: μ(y)=e^∫▒□((N_x-M_y)/M dy)

De acuerdo al concepto, el factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial 2xydx+(3x^2+4y-3)dy=0 , está dado por:
μ(y)=y^2
μ(y)=2/y
〖2x〗^2 y^3+y^4-y^3=C
〖2x〗^3 y^2+y^4-3y^3=C

Answer 1

$2xy\,dx+(3x^2+4y-3)\,dy=0 \\[4pt] M= 2xy \ \Rightarrow \ \dfrac{\partial M}{\partial y} =2x \\[4pt] N=3x^2+4y-3 \ \Rightarrow \ \dfrac{\partial N }{\partial x}=6x \\[4pt] \dfrac{\partial M}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N}{\partial x} \ \rightarrow \ \text{No es exacta}$

$\text{Se busca un factor integrante } \\[4pt] \dfrac{N_x-M_y}{M}=\dfrac{6x-2x}{2xy}=\dfrac{2}{y} \\[4pt] u(y)=e^{\int \frac{2}{y}dy}=e^{2\ln y}=(e^{\ln y})^2=y^2$

$\text{Se multiplica por el factor integrante a la ecuaci\'on diferencial } \\[4pt] 2xy^3\,dx+(3x^2y^2+4y^3-3y^2)\,dy=0 \\[4pt] M=2xy^3 \ \Rightarrow \ \dfrac{\partial M }{\partial y} =6xy^2 \\[4pt] N=3x^2y^2+4y^3-3y^2 \ \Rightarrow \ \dfrac{\partial N}{\partial x}=6xy^2\\[4pt] \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} \ \rightarrow \ \text{Es exacta}$

$\displaystyle \text{Siendo exacta , existe una funci\'on }f \text{ tal que :} \\[4pt] \dfrac{\partial f}{\partial x}=M(x,y) \quad , \quad \dfrac{\partial f}{\partial y}=N(x,y) \\[4pt] \dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy^3 \quad , \quad \dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^2y^2+4y^3-3y^2$

$\displaystyle \bullet \ \dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy^3 \ \Rightarrow \ f=\int 2xy^3\,dx=x^2y^3+\phi (y) \\[4pt] \bullet \ \dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^2y^2+4y^3-3y^2 \ \Rightarrow \ \dfrac{\partial }{\partial y}(x^2y^3+\phi (y))=3x^2y^2+4y^3-3y^2 \\[4pt] \Rightarrow \ 3x^2y^2+\phi ^{\prime }(y)=3x^2y^2+4y^3-3y^2 \\[4pt] \Rightarrow \ \phi ^{\prime }(y)=4y^3-3y^2 \\[4pt] \Rightarrow \ \phi (y)=\int (4y^3-3y^2)\,dy=y^4-y^3+c_1$

$\text{De donde la funci\'on }f \text{ es } \\[4pt] f(x,y)=x^2y^3+y^4-y^3+c_1 \\[8pt] \text{Finalmente se iguala a una constante a la funci\'on }f \\[4pt] \boxed{x^2y^3+y^4-y^3=C} \ \ \leftarrow \ Soluci\'on$